寒假集训知识点总结

点双、边双

tarjan

\(\color{blue}\scriptsize\text{基本能熟练运用}\)

圆方树

对每个点双新建一个“方点”，将内部所有点向“方点”连边。

这样可以形成一棵树。
\(\color{blue}\scriptsize\text{概念掌握了，但没有做过题。}\)

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字符串

kmp & AC 自动机

\(\color{blue}\scriptsize\text{基本能熟练运用}\)

后缀数组(SA)

将字符串的后缀集合按字典序排序，就可以得到一个后缀数组。

• \(rk[i]\)： 从 \(i\) 开始的后缀在后缀数组中的排名。

• \(sa[i]\)： 排名为 \(i\) 的后缀的首字母的位置。

  \(rk[sa[i]]] = sa[rk[i]] = i\)

• \(height[i]\)： 排名为 \(i\) 的后缀与排名为 \(i - 1\) 的后缀的最长公共前缀(LCP)长度。

  求两个后缀的 LCP ，也就是这两个后缀在后缀数组中区间 \(height\) 最小值，常用 st表 维护。

在求后缀数组时，一般使用倍增算法

在第 \(i\) 轮，我们只考虑从每个位置开始长度为 \(2^i\) 的后缀，这样每次排序就只需要排一个二元组，将两段长度为 \(2^{i-1}\) 的子串拼起来，可以利用桶排

总复杂度 \(O(n\log n)\)

具体而言，先按照第二关键字排序，再逆序入桶排第一关键字。

后缀自动机(SAM)

可以识别给定串 \(S\) 的所有后缀的最小 DFA。

• \(endpos(s)\)：原串中所有 \(s\) 出现的结束位置。

  等价关系 \(endpos(s)=endpos(t)\) 会将所有子串划分为若干等价类，这些等价类就是 SAM 中的节点（状态）。

  对于每个等价类，其中子串长度是连续的（某个子串的一段后缀）。

• \(parent\) 树：将等价类状态的包含关系视作一棵树。

  \(par[i]\)：\(i\) 在 \(parent\) 树上的父亲。

• \(len[i]\)：在 \(parent\) 树上 \(i\) 所对应的等价类中长度最长的子串。

SAM 在线构建方法

记录当前字符串对应的状态 \(lst\)，对于新的字符 \(c\)，新建节点 \(np\)，在 \(parent\) 树上向上跳到 \(p\)，\(p\) 有 \(c\) 的转移 \(q\)。

如果到根了，\(par[np]=q\)。

否则，需要分类讨论一下，若 \(len[q] \neq len[p]+1\)，说明 \(q\) 已经过时了，也就是 \(endpos(np)\neq endpos(q)\) 此时需要新建一个节点 \(nq\)，使 \(len[nq]=len[p]+1\)，然后将 \(par[np]=par[q]=nq\)。否则，可以直接更新 \(par[p]\)。

构建 SAM 的复杂度是 \(O(n)\) 的
\(\color{blue}\scriptsize\text{SA 和 SAM 都只会做一些比较板子的题}\)

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Burnside & Pólya

置换群 - OI Wiki
\(\color{blue}\scriptsize\text{不会（}\)

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树分治

点分治

每次找到树的重心，处理经过重心的路径，然后把重心删除后，在子树中递归处理。

分治过程是 \(O(n\log n)\) 级别的。
\(\color{blue}\scriptsize\text{基本能独立写完，但是一些细节可能调不出来}\)

边分治

与点分治差不多，每次删除一条边，然后递归处理。

但是对复杂度有一定影响，例如在菊花图时这样做会退化成 \(O(n^2)\)

因此需要先对树进行三度化，一种比较简单的方法是：左孩子右兄弟。

上图中红色部分为新加的用来实现三度化（这个图好像画反了 QAQ，不过不影响理解）
\(\color{blue}\scriptsize\text{概念理解了，但是没写过}\)

动态点分治

核心是点分树，从重心向子树的重心连边，深度是 \(O(\log n)\) 级别的。

一般来说会记录子树到根的信息以及子树到根的父亲的信息（用来去掉同一棵子树内的贡献），修改或查询时从当前点跳到根复杂度可以保证。
\(\color{blue}\scriptsize\text{只会写比较板子的题，不好调}\)

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Link-Cut Tree

LCT 本质是一个 splay 森林，每个 splay 维护原树的一条链，其中序遍历是这条链由浅至深的顺序。

可以动态维护树上的很多东西。
\(\color{blue}\scriptsize\text{基本能独立写完}\)

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网络流

Dinic 算法

每次增广前，用 bfs 将图分层，分层后：

1. 如果不存在源点到汇点的增广路，即可停止增广。
2. 每次找比当前点层数多 1 的点进行增广（这样可以确保找到的增广路是最短的）

优化：多路增广，当前弧优化

复杂度：\(O(n^2m)\)

最大流

找到所有增广路求流量的和。

最小割

等于最大流。

费用流

将 bfs 分层改为用 spfa 跑出最短路图，然后在图上增广。
\(\color{blue}\scriptsize\text{板子会写，但是一些题建图还不太行}\)

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决策单调性

斜率优化

将 dp 转移式子写成斜率的形式，通过维护凸包来进行转移。
\(\color{blue}\scriptsize\text{掌握的还可以}\)

四边形不等式优化

若 \(w\) 满足四边形不等式，且区间包含关系单调，则 \(f\) 也满足四 边形不等式。

若 \(w\) 满足四边形不等式，当且仅当

\(w[i,j]+w[i+1,j+1]\le w[i+1,j]+w[i,j+1]\)

若 \(f\) 满足四边形不等式，则

\(p[i,j-1]\le p[i,j]\le p[i+1,j]\)

其中 \(p[i,j]\) 为 \(f[i,j]\) 的决策点。
\(\color{blue}\scriptsize\text{代码比较好写，但是不太好发现四边形不等式}\)

一般决策单调性

• 单调队列/单调栈+二分
  \(\color{blue}\scriptsize\text{写过一道，掌握的不太好}\)

• 分治
  \(\color{blue}\scriptsize\text{能写完，但一些细节可能调不出来}\)

• wqs二分/dp凸优化
  \(\color{blue}\scriptsize\text{能写出来，但不太好调}\)