「学习笔记」Matrix-Tree 定理

Matrix-Tree 定理

行列式

定义

对于一个 \(N\times N\) 的矩阵 \(A\)，其行列式为

\[\det(A)=\sum_{P}(-1)^{\mu(P)}\prod A_{i,P_i} \]

其中 \(P\) 为 \(N\) 的排列，\(\mu(P)\) 为 \(P\) 的逆序对个数。

也就是在每一行挑一个数，不在同一列，将它们乘起来，系数与逆序对个数有关。

性质

• 交换矩阵的两行，行列式变号

• 将矩阵的某一行乘 \(t\)，行列式也乘 \(t\)

• \(\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}\)

• 如果有某两行一样的矩阵，行列式为 \(0\) （考虑交换它们）

• 用矩阵的一行假声另一行的倍数，行列式不变

• 矩阵的行列式等于消元后上三角矩阵中对角线上的乘积

代码

int det(int n)
{
    int res = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = i + 1; !a[i][i] && j <= n; j++)
            if(a[j][i]) swap(a[i], a[j]), res = mod - res;
        int inv = qpow(a[i][i], mod - 2);
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
            for(int k = n; k >= 1; k--)
                a[j][k] = (a[j][k] - 1ll * a[i][k] * a[j][i] % mod * inv % mod + mod) % mod;
        res = 1ll * res * a[i][i] % mod;
    }
    return res;
}

矩阵树定理

求图的生成树个数

无向图

\(D\) 为度数矩阵，\(G\) 为邻接矩阵

则基尔霍夫矩阵 \(K=D-G\)

然后令 \(K'\) 为 \(K\) 去掉任意一行一列的矩阵

\(\det(K')\) 即为生成树的个数

有向图

若求外向树个数，那么 \(D\) 为入度矩阵，否则，\(D\) 为出度矩阵。

注意是有向图，所以会固定一个根，在求行列式时，如果去掉第 \(k\) 行第 \(k\) 列，那么值为指定 \(k\) 为根的生成树个数。

加权

可以理解为有重边的情况，将边权看成重复的边数，再求生成树个数即可。

例题

有向图+无向图：Luogu P6178 【模板】Matrix-Tree 定理

无向图：Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡

有向图：Luogu P4455 [CQOI2018]社交网络

加权：Luogu P3317 [SDOI2014]重建