「学习笔记」dsu on tree

dsu on tree

简介

可以用来处理一些树上的问题，一般有2个特征：

1. 询问子树上的信息。
2. 没有修改。

思路

考虑暴力做法，对于每个子树，遍历一遍求答案，时间复杂度是 \(O(n^2)\) 的。

但是其实在求当前子树的答案时，它的信息父亲也是要用的，但是我们不能全继承上去，因为在遍历它的儿子求答案时，是相互独立的，需要清空。所以我们考虑怎么样能使优化最大化，显然是继承重儿子。

重儿子的预处理就是轻重链剖分。

因此，先遍历所有轻儿子，统计完答案后清空，再遍历重儿子，统计答案，继承给父亲。

时间复杂度

类似于树剖，因为重儿子继承了，所以是 \(O(n\log n)\)。

例题

1. CF600E Lomsat gelral

Link

题意：

给出一个树，求出每个节点的子树中出现次数最多的颜色的编号和。

板子题，开个数组记录一下每个颜色的个数，暴力统计即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
int n, c[N];
vector <int> g[N];
int siz[N], son[N];

void dfs1(int u, int fa)
{
    siz[u] = 1;
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
    }
}

int Son, mx, cnt[N];
ll sum, ans[N];

void add(int u, int fa, int val)
{
    cnt[c[u]] += val;
    if(cnt[c[u]] > mx) mx = cnt[c[u]], sum = c[u];
    else if(cnt[c[u]] == mx) sum += c[u];
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i];
        if(v == fa || v == Son) continue;
        add(v, u, val);
    }
}

void dfs2(int u, int fa, int op)
{
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i];
        if(v == fa || v == son[u]) continue;
        dfs2(v, u, 0);
    }
    if(son[u]) dfs2(son[u], u, 1), Son = son[u];
    add(u, fa, 1), Son = 0;
    ans[u] = sum;
    if(!op) add(u, fa, -1), mx = 0, sum = 0;
}

int rd()
{
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) c = getchar();
    while(isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

int main()
{
    n = rd();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        c[i] = rd();
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        int u = rd(), v = rd();
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0, 0);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld ", ans[i]);
    puts("");
    return 0;
}

2. CF375D Tree and Queries

Link

题意：

给定一颗树，多次询问一颗子树中出现次数 ≥k 的颜色有多少种。

与上一道题类似，但要离线。

先把询问处理一下，把每个子树的询问挂到根上，统计答案时一起算。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

template <typename T>
void read(T &x)
{
    x = 0;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) c = getchar();
    while(isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return;
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m, col[N];
vector <int> g[N];
struct query
{
    int k, id;
};
vector <query> q[N];
int siz[N], son[N], f[N];

void dfs1(int u, int fa)
{
    f[u] = fa;
    siz[u] = 1;
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
    }
}

int cnt[N], sum, ans[N], d[N];

void add(int u, int val, int Son)
{
    cnt[col[u]] += val;
    if(val == 1) d[cnt[col[u]]]++;
    else d[cnt[col[u]] + 1]--;
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i];
        if(v == f[u] || v == Son) continue;
        add(v, val, Son);
    }
}

void dfs2(int u, int op)
{
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i];
        if(v == f[u] || v == son[u]) continue;
        dfs2(v, 0);
    }
    if(son[u]) dfs2(son[u], 1);
    add(u, 1, son[u]);
    for(int i = 0; i < q[u].size(); i++)
        ans[q[u][i].id] = d[q[u][i].k];
    if(!op) add(u, -1, 0), sum = 0;
}

int main()
{
    read(n), read(m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        read(col[i]);
    for(int i = 1, u, v; i < n; i++)
    {
        read(u), read(v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    for(int i = 1, u; i <= m; i++)
    {
        query t;
        read(u), read(t.k);
        t.id = i;
        q[u].push_back(t);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        write(ans[i]), puts("");
    return 0;
}

参考资料

dsu on tree入门 - 自为风月马前卒