傅里叶级数的一点小心得

目录

• 傅里叶级数的指数形式
• 信号与系统中的傅里叶级数
  • 特征函数
  • 傅里叶级数分析公式推导
  • 正交性的说明

傅里叶级数的指数形式

先从数学定义中的三角形式傅里叶级数出发，来讨论这个问题：

$$f(t) = \frac{{{a_0}}}{2} + {a_1}\cos (\omega t) + {b_1}\sin (\omega t) + {a_2}\cos (2\omega t) + {b_1}\sin (2\omega t) + ... \\ = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {[{a_n}\cos (n\omega t) + {b_n}\sin (n\omega t)]} \\ $$

$${a_n} = \frac{2}{T}\int_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\cos (n\omega t)dt} \\ {b_n} = \frac{2}{T}\int_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\sin (n\omega t)dt} \\ $$

其中，f(x)要求是周期函数。

若作如下的转换：

$${c_0} = \frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f(t)dt}\\ {c_n} = \frac{{{a_n} - j{b_n}}}{2} = \frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f(t)[\cos (n\omega t) - j\cos (n\omega t)]dt}\\ = \frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f(t){e^{ - jn\omega t}}dt}\\ {c_{ - n}} = c_n^* = \frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f(t){e^{jn\omega t}}dt}\\ $$

代入上面的三角形式傅里叶级数后，可得出最终的结果为：

$$f(t) = {c_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({c_n}{e^{jn\omega t}} + {c_{ - n}}{e^{ - jn\omega t}}) = } \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{c_n}{e^{jn\omega t}}}$$

傅里叶级数是根据弦振动理论推导而来的，网络上也有很多人通过麦克劳林级数等其他数学方式来解释。傅里叶级数具体如何而来的这里不作深究。

信号与系统中的傅里叶级数

傅里叶级数定义：

$$f(x) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk\frac{{2\pi }}{T}x}}} \tag{2-1}$$

f(x)是最小周期为2T的函数。以及级数收敛所需的Dirichlet条件：

• f(x)在一个周期内绝对可积
• f(x)在一个周期内只有有限个第一类间断点
• f(x)在一个周期内只有有限个极值点

在实际自然界中，不满足Dirichlet条件的信号几乎是不存在的，仅具有数学上的意义，所以不深入探究。故可以认为信号与系统中所有的周期信号都满足Dirichlet条件，即都可以写作傅里叶级数的形式。

特征函数#

在讨论傅里叶级数之前，再回过头来看看卷积公式，根据卷积的交换律，我们可以将(1-2)式改写为：

$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t - \tau )h(\tau )d\tau } \tag{2-2}$$

如果拥有一个周期信号，则可以将其展开成如(2-1)所示的傅里叶级数形式，这里用一个简单的频域抽样信号来推导： $x(t) = {e^{jk{\omega _0}t}}({\omega _0} = \frac{{2\pi }}{T})$ 。将其代入(2-2)后即可化为如下形式：

$$y(t) = {e^{jk{\omega _0}t}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - jk{\omega _0}\tau }}h(\tau )d\tau } \tag{2-3}$$

令 $H({e^{jk{\omega _0}}}) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - jk{\omega _0}\tau }}h(\tau )d\tau }$，则有：

$$y(t) = H({e^{jk{\omega _0}}}) \cdot x(t) \tag{2-4}$$

这里的H函数可以称作系统的特征函数，也可以将其转换到S域上，以便于对于更多系统特性的具体分析。基于上述的推导，不难发现我们已经向傅里叶级数迈进了一步：提供了求解傅里叶系数 的思路。即通过凑出类似上面H函数形式的方法，利用x(t)的积分求解。 在奥本海姆《信号与系统（第二版）》的P119页上对于傅里叶级数有更加详细具体的推导。

傅里叶级数分析公式推导#

对综合公式两端乘以 $e^{-jn\omega_0t}$ ，得出：

$$x(t)e^{-jn\omega_0t} = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_{k}e^{j(k-n)\omega_{0}t}$$

再两端同时对t进行单周期上的积分：

$$\int_{T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt = \sum^{+\infty}_{k=-\infty} a_{k} \int_{T}e^{j(k-n)\omega_{0}t}dt$$

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这里应用了积分和求和的互换性质。关于高数知识我后面可能像这样专门写一些。

利用三角函数的正交性：

$$\int_{T}e^{j(k-n)\omega_{0}t}dt = \left\{\begin{array}{rcl} T & for & k=n \\ 0 & for & k \neq n \end{array}\right.$$

得到最终推导出的分析公式：

$$a_k = \frac{1}{T}\int_{T}e^{j(k-n)\omega_{0}t}dt$$

正交性的说明#

这里对一个小地方做简单说明，书中3.35式 $\int_0^T {{e^{j(k - n){\omega _0}t}}dt}$ 求得结果为T，原因在于三角函数系的正交性。由于指数形式可以通过欧拉公式转换为三角函数，故正交性质可直接利用。

$${e^{j(k - n){\omega _0}t}} = (\cos k{\omega _0}t + j\sin k{\omega _0}t)(\cos n{\omega _0}t - j\sin n{\omega _0}t) \tag{2-5}$$

很显然，(2-5)式中所有三角函数均隶属于 $T = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}$ 的三角函数系，若k不等于n则即它们任意两者之间的乘积在周期T上的积分为0。

三角函数的正交性可如下简述：

• cosx,sinx,cos2x…cosnx,sinnx可视为一三角函数系，这个函数系中任意两不相同三角函数相乘在T=2π上的积分为0。

最终给出周期连续信号傅里叶级数的综合公式和分析公式：

$$x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} {\text{ = }}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{a_k}{e^{jk\frac{{2\pi }}{T}t}}} \\ {a_k} = \frac{1}{T}\int_T {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} {\text{ = }}\frac{1}{T}\int_T {x(t){e^{ - jk\frac{{2\pi }}{T}t}}} \\ \tag{2-6}$$

由上面的内容可以看出，我并未考虑傅里叶级数的物理意义，而是从纯粹的数学角度去思考。如果数学基本功尚可，在学习伊始可以将傅里叶级数视作一种新的数学处理方法，而暂且忽略其频域特性相关内容。因为频域本身也是一种概念，而非物理世界真实存在的“域”。