ABC306G & CF1835D

两道题似乎都涉及了一个经典模型：

在一张有向图上，给定起点 $s$ 和终点 $t$，询问 $s$ 到 $t$ 与 $t$ 到 $s$ 是否均存在一条长度 $=L$ 的路径（$L$ 是一个 $\ge n^3$ 的数）。

首先 $s$ 与 $t$ 必须在同一个 SCC 内（考场上没看到互相可达直接以为不可做）。

考虑取出这个 SCC 的任意一颗生成树，则有定理：

设所有非树边 $(u,v)$ 的 $|de{p}_u+1-de{p}_v|$ 的 $gcd$ 为 $g$，则 $\mathrm{\forall }x\in \text{SCC},\mathrm{\exists }L,\mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{\forall }l\ge L\text{and}g|l$，存在包含 $x$、长为 $l$ 的环。

证明：设当前所有包含 $x$ 的环的 $gcd$ 为 $g$。

• 若所有 $de{p}_u+1\equiv de{p}_v(\mathrm{mod}g)$，显然从 $x$ 出发，每走一步在模 $g$ 意义下深度一定 $+1$，回到 $x$ 时肯定长度为 $g$ 的倍数。
• 若存在 $de{p}_u+1\not\equiv de{p}_v(\mathrm{mod}g)$，则一定存在长度不是 $g$ 的倍数的环。根据裴蜀定理，$g$ 可以变为 $gcd(g,l)$（$l$ 为这个环的长度），可以变得更小。

  为什么一定存在这种环：设 $rt$ 为生成树的树根，若 $x$ 到 $rt$ 存在长度 $\not\equiv de{p}_{rt}-de{p}_x(\mathrm{mod}g)$ 的路径，则 $x\to rt\to x$ 就符合要求；对 $u,v$ 均同理。于是可以构造 $x\to rt\to u\to v\to rt\to x$ 这样的环，除了 $u\to v$ 的一段其它都符合 $s\to t$ 所有路径长度模 $g$ 意义下等于 $de{p}_t-de{p}_s$ 这一性质，所以这个环长度一定不是 $g$ 的倍数。

根据证明过程，可以扩展这个定理：

$\mathrm{\forall }x,y\in \text{SCC},\mathrm{\exists }L,\mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{\forall }l\ge L\text{and}l\equiv de{p}_y-de{p}_x(\mathrm{mod}g)$，存在以 $x$ 为起点、以 $y$ 为终点、长为 $l$ 的路径。

证明过程类似。