不用加减乘除实现两个正整数的加法

很常见的一道题，网上也有各种各样的解法，备忘一下。

首先来看十进制整数的加法，123 + 999，将其分为三步来运算：

（1）对每一位相加，不考虑进位。当有进位时，舍弃。如下：

     123

+   999

=   012  

（2）考虑进位的影响。观察可发现，当个位相加有进位时，实际上少加了10，当百位有进位时，实际上少加了100，依次类推。因此，第二步操作我们得到因为没考虑进位少加的数。当没有进位时为0，当有进位时，舍弃个位，留下十位。比如5 + 6 = 11，舍弃个位，留下十位，为1，即 5 + 6 = 1。对每一位做如此操作：

     123

+   999

=   111

个位： 3 + 9 = 1  少加了10

十位： 2 + 9 = 1  少加了100

百位： 1 + 9 = 1  少加了1000

共少加了 1100，即 111 * 10 = 1110。因为是十进制，所以将进位相加得到的数 111 * 10，即为由于忽略进位少加的数

（3）将第一步和第二步所得到的数相加：

     012

+ 1100

= 1112

得到最后的结果。

推广到二进制，逢2进1。举例：15 + 11，转化成二进制就是：1111 + 1011，还是按照上面的三个步骤：

（1）每一位相加，不考虑进位：

     1111

+   1011

=   0100

（2）考虑进位，算出少加的数

       1111

+     1011

=     1011

对应到二进制，从右到左：

第一位进位：少加了2

第二位进位：少加了4

第四位进位：少加了16

因为是二进制，需要将 1011 * 2，对应到二进制中，就是左移一位，变成 10110

（3）将第一步和第二步的数相加：

0100 = 4

10110 = 22

和为： 26

使用二进制加法时：

        0100

+    10110

=    11010

实际上，在上述过程中仍然有进位，继续利用上面的方法。因此，利用二进制实现加法实际上是个循环的过程。

用程序实现上述步骤：

第一步中，1 + 1 = 0, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1， 0 + 1 = 1 ，实际上符合异或的操作（相同为0，不同为1）

第二步中，1 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0, 0 + 1 = 0, 实际上符合与操作（只有都为1时才为1）

第三步就是对第一步和第二步的重复。

代码如下：

 

while(cin >> n >> m){
    while(m){
        int sum = n ^ m;
        int temp = (n & m)<<1;
        n = sum;
        m = temp;
    }
    cout << n << endl;    
}