[NOI2017]蔬菜

Problem

你有 \(n\) 种疏巨，每销售一个单位第 \(i\) 种疏巨，获利 \(a_i\) 元。第一次销售额外获利 \(s_i\) 元。开始时有 \(c_i\) 单位，每天会变质 \(x_i\) 份。每天你最多可以销售 \(m\) 单位疏巨。

\(k\) 组询问，每次询问销售 \(p\) 天，获利最大值。

Sol

\(\rm orz~\mathtt{\color{black}S\color{red}{yksykCCC}}\)

首先第一下很容易会想贪心：每天选择剩余获利最多的疏巨销售，这样子貌似很优秀。但反例也不难举出来：两种疏巨，一种收益很低，但变质很快；一种收益很高，但不会变质（或变质很慢），询问的天数很长，这样我们肯定先选变质快的，再慢慢悠悠地选择不变变质的，这样在总量上会变多。

顺着这个角度思考，发现如果天数短的话肯定优先选择收益高的疏巨（因为肯定销售不完）。

我们会发现：对于一种疏巨，满足销量的前提下，尽可能迟地销售，这样就可以为其它需要早早销售的疏巨腾出空间。

假设第 \(i\) 种疏巨在销售 \(d_i\) 份时，能够允许的时间为 \(t_i\)，可以得到两个方程

\[\begin{cases} \begin{aligned} t_i\ge\lceil\frac{d_i}{m}\rceil \end{aligned}\\ x_i(t_i-1)+d_i\le c_i \end{cases} \]

解得

\[\lceil\frac{d_i}m\rceil\le t_i\le\lfloor\frac{c_i-d_i}{x_i}\rfloor+1 \]

我们希望其能尽可能迟地销售，则需要取一个 \(T_i=t_{i,\max}=\lfloor\frac{c_i-d_i}{x_i}\rfloor+1\)，同时要满足 \(T_i\ge\lceil\frac{d_i}m\rceil\)。

这样转化以后我们会得到一组 \((d_i,T_i)\) 的值。分析一组取值合法的条件，我们按照 \(T\) 从大到小排序，假设排序后变成 \((d_{p_1},T_{p_1}),(d_{p_2},T_{p_2}),\cdots\)，按照这样的顺序依次选，直接描述就是 必须任意时刻下都能合法地选够 \(m\) 份疏巨，使用数学语言描述就是

\[\forall i>0,\sum_{k=1}^{i-1}d_{p_k}\ge m(p-T_{p_i}) \]

（大白话就是前面的所有 \(d\) 够塞满后 \(p-T\) 天的销量）

下面考虑多销售一份疏巨时会发生什么变化。某一种疏巨的 \(d\) 会增加，\(T\) 可能会减小，如果没减小，式子仍然成立，无事发生；如果减小，只会影响其中的一个不等式（右端 \(+m\)），但也有可能使得排名发生改变，总结下来就是某一项右边 \(+m\)，某个前缀的所有不等式组，左边项 \(+1\)。但不可能一个不等式 \(+m\)，一个不等式 \(+1\)。

维护这样的东西即可，每次选择能贪到的最大权来贪一贪就行了。证明感性理解？（反正可以建费用流模型，贪心不会错，好吧其实我不会证）。

仔细思考使用堆维护，复杂度 \(\mathcal O(\max p_i\times m\log n)\)。注意要先做 \(p\) 最大的情况，然后再退回来做（每次把不好的疏巨丢了），要不然 \(p\) 增加的时候不等式不满足条件了。

Code

（咕咕咕）