Burnside引理和Polya定理

一类与对称相关的计数问题

栗子：给一个手镯，上面有 \(n\) 颗珠子，由线串成环。每种珠子可能有 红、黄、绿、蓝 四种颜色。问本质不同的手镯有多少种。对于两种手镯本质相同，当且仅当一种手镯能通过旋转和翻转变换与另一种手镯重合。

抽象化

对于这类问题，我们规范化定义：设集合 \(A\) 表示按照顺序编号手镯的每个珠子，\(B\) 表示四种颜色，\(X:A\rightarrow B\) 表示每个珠子对应一种颜色。对于旋转、翻转等操作，都可以使用置换来描述。所有操作构成的置换构成 置换群 \(G\)，称为群是由于其内的元素满足群的定义和特点。显然，\(X\) 中某些元素可以通过 \(G\) 中的操作相互转化，这些元素在 \(G\) 下是 等价的，问题也就是 \(X\) 在 \(G\) 下的 等价类个数，记作 \(|X/G|\)。

由 Burnside引理 ：

\[|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

这里阐述记号：\(|G|\) 表示置换群的大小，\(X^g=\{x|g(x)=x,x\in X\}\)，即初始状态通过 \(g\) 的置换不变构成的集合。

若要理解和证明该引理，需要引入 轨道稳定子定理。

轨道稳定子定理

这里考查单个状态 \(x\in X\) 受 \(G\) 的影响。首先，至少有 \(e\in G\)（即啥也不做的变换），使得 \(x\) 在变换中保持原样。定义 \(G^x=\{g|g(x)=x,g\in G\}\)，表示使 \(x\) 不改变的置换构成的集合，称 \(G^x\) 为 \(x\) 的 稳定子；与之相对，定义 \(O^x=\{g(x)|g\in G\}\)，即 \(x\) 通过变换得到的所有状态构成的集合，这里 \(O^x\) 称之为 \(x\) 的 轨道。

定理的内容：

\[|G|=|G^x||O^x| \]

下面来证明。首先，由群论的相关知识，不难证明 \(G^x\) 能构成群，故由 拉格朗日定理：

\[|G|=|G^x|[G:G^x] \]

这里 \([G:G^x]\) 表示 \(G^x\) 不同的 陪集 数目。注意陪集互不相交且大小相等，共同构成了 \(G\) 的划分。

现在我们需要证明 \(|O^x|=[G:G^x]\)。不难发现 \(|O^x|\leq |G|\)，也就是 有可能 两种置换 \(g,h\in G\) 满足 \(g(x)=h(x)\)，即被对应到轨道中 同一个点，继续推导：

\[g(x)=h(x)\Rightarrow (g^{-1}\circ h)(x)=x\Rightarrow g^{-1}\circ h\in G^x\Rightarrow h\in gG^x \]

\(gG^x\) 是 \(G^x\) 的陪集。发现 \(g(x)\neq h'(x)\) 得到的是 \(h'\not\in gG^x\)。这表明 轨道 \(O^x\) 上的每一个不同的点，都会被映射到不同的陪集中。这里则证明了 \(O^x\) 到 \(G:G^x\) 满足 单射。

显然 \(\forall g\in G\)，\(g\) 必然遍布 \(G^x\) 的所有陪集，并且 \(g(x)\in O^x\)。故所有陪集中，\(g(x)\) 一定在 \(O^x\) 中。这里则证明了 \(O^x\) 到 \(G:G^x\) 满足 满射。

故 \(O^x\rightarrow G:G^x\) 满足 双射，即证 \(|O^x|=[G:G^x]\)。

Burnside 引理的推导

上述定理描述了 单个状态不动的置换数 的关系，而 Burnside引理 则描述了 单个置换下不动的状态数 的关系，我们尝试先建立联系：

\[\sum_{g\in G}|X^g|=\sum_{g\in G}\sum_{x\in X}[g(x)=x]=\sum_{x\in X}|G^x| \]

由 轨道稳定子定理：

\[|G^x|=\frac{|G|}{|O^x|} \]

故：

\[\sum_{x\in X}|G^x|=|G|\sum_{x\in X}\frac1{|O^x|} \]

现在考虑与 \(|X/G|\) 建立联系。对于 \(x\in X/G\)，是某一个 等价类（的代表），其等价类大小即为 \(|O^x|\)（即 \(x\) 能通过变换得到的所有状态）。

改变枚举方式：

\[\sum_{x\in X}\frac1{|O^x|}=\sum_{x\in X/G}\sum_{y\in O^x}\frac1{|O^x|}=\sum_{x\in X/G}1=|X/G| \]

整理得

\[\sum_{g\in G}|X^g|=|G||X/G| \]

即证

\[|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

Pólya 定理

该定理是 Burnside引理 的进一步推导。考虑化简 \(|X^g|\)。由于 \(g\) 是一种置换，在这种置换下 \(x\) 不变的方案数，与 置换分解出来的环的数量 有关。显然一个环中的元素必须全部相等，令 \(c(g)\) 表示置换 \(g\) 分解出来的环的数量，则 \(|X^g|=|B|^{c(g)}\)，这里 \(B\) 是 \(X:A\rightarrow B\) 的像。

所以得到

\[|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)} \]