一个极其常见的式子
（扰动法）
\[\begin{aligned}
&S(k,n)\\
=&\sum_{i=1}^ni^ka^i\\
=&\sum_{i=1}^n(i+1)^ka^{i+1}-(n+1)^ka^{n+1}+a\\
=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k{k\choose j}i^ja^{i+1}-(n+1)^ka^{n+1}+a\\
=&a\sum_{j=0}^k{k\choose j}\sum_{i=1}^ni^ja^i-(n+1)^ka^{n+1}+a\\
=&a\sum_{j=0}^k{k\choose j}S(j,n)-(n+1)^ka^{n+1}+a
\end{aligned}\]
得到
\[(1-a)S(k,n)=a\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}S(j,n)-(n+1)^ka^{n+1}+a
\]
\[S(k,n)=\frac{(n+1)^ka^{n+1}-a\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}S(j,n)-a}{a-1}
\]
但是必须要 \(a\ne 1\)。如果 \(a=1\) 呢？发现是 \(k\) 次幂和。
注意到推导中
\[\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}S(j,n)=(n+1)^k-1
\]
\[{k\choose k-1}S(k-1,n)=(n+1)^k-\sum_{j=0}^{k-2}{k\choose j}S(j,n)-1
\]
最后一步换元，把系数除过去
\[S(k,n)=\frac{(n+1)^{k+1}-\sum_{j=0}^{k-1}{k+1\choose j}S(j,n)-1}{k+1}
\]
注意边界条件 \(S(0,n)=n\)
