一道构造题

Problem

给定一个\(n\times m\)的矩阵，每次可以对矩阵做以下操作：

1、给矩阵的一行同时加上一个数\(k\)；

2、给矩阵的一列同时加上一个数\(k\)；

3、给矩阵的一条对角线同时加上一个数\(k\)。给定\(t\)，即\(\forall j-i=t\)，满足的\(a_{i,j}\)即为一条对角线。

构造一种方案使得矩阵最后全为0。无解输出-1。

\(n,m\leq 10^3\)。

Solution

这是一道构造题，我们来考查操作下不变的关系。

考查一个\(3\times 3\)的矩阵，可以发现：\(a_{1,1}-a_{2,1}-a_{1,2}+a_{2,3}+a_{3,2}-a_{3,3}\)始终不变！

在三类操作下，变化的值总是能被抵消掉！（将其黑白染色）

所以只要能填好前两行和前两列，依据以上等式可以将全部矩阵推导出来。

问题就变成：将前两行前两列通过三种操作变成0，判断剩下位置是否为0。如果为0，则肯定无解；反之则有解。

那么现在如何将前两行前两列变成0？这个很简单，把\(a_{1,1}\)和\(a_{2,2}\)变成0后，对于第一行和第一列的数字，利用操作三变成0；对于第二行第二列，利用一二操作，这样可以不影响到\(a_{1,1}\)和\(a_{1,2}\)。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int N = 1005;
int n, m, a[N][N];
LL x[N], y[N], z[N*2];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	x[1] = a[2][2]-a[1][1]; z[n] = -a[2][2];
	for (int i = 2; i <= n; i++) z[n-i+1] = -(a[i][1]+x[i]), x[i+1] = -(a[i+1][2]+z[n-i+1]);
	for (int i = 2; i <= m; i++) z[n+i-1] = -(a[1][i]+x[1]+y[i]), y[i+1] = -(a[2][i+1]+z[n+i-1]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			if (a[i][j]+x[i]+y[j]+z[j-i+n]) { puts("-1"); return 0; }
	printf("%d\n", 2*(n+m)-1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("1 %d %lld\n", i, x[i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++) printf("2 %d %lld\n", i, y[i]);
	for (int i = 1; i <= n+m-1; i++) printf("3 %d %lld\n", i-n, z[i]);
	return 0;
}