威尔逊定理
威尔逊定理
若\(p\)是质数，恒有\((p-1)! \equiv -1 \pmod p\)成立。
\(Proof\)：
\[发现a和a^{-1}互为逆元，得到逆元的成对出现
\]
\[但如果a\equiv a^{-1}怎么办，我们可以求出来
\]
\[也就是说aa^{-1}\equiv a^2 \equiv 1 \pmod p
\]
\[我们变个形:a^2-1 \equiv 0 \pmod p
\]
\[也就是:p \mid a^2-1 \Rightarrow p \mid (a-1)(a+1)
\]
\[\therefore a-1 \equiv 0 \pmod p 或者 a+1 \equiv 0 \pmod p，不可能存在第三者因为p是质数
\]
\[得到a \equiv 1 \pmod p或a\equiv -1 \pmod p
\]
\[对于p=2，两式等价，(p-1)!\equiv 1 \equiv p-1 \pmod p，成立
\]
\[对于p\neq 2，有两解为\pm 1（1或p-1）
\]
\[对于其它数一定能与逆元两两配对，乘积为1
\]
\[\therefore (p-1)! \equiv 1^{\frac{p-3}{2}} \times 1 \times -1 \equiv -1 \pmod p，这里\frac{p-3}{2}指逆元配对数
\]
这个定理出现在二次剩余相关部分。
