欧拉函数

欧拉函数

　　与\(n\)互质的数的个数，记作\(\varphi(n)\)。

　　这个函数的求解：\(\varphi(n)=n\prod_{p_i}(1-\frac{1}{p_i})\)，其中\(p_i\)是\(n\)的质因子。

　　\(Proof\)：

\[用容斥 \]

\[\varphi(n)=n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}-\dotsb+\frac{n}{p_1p_2}+\frac{n}{p_1p_3}-\dotsb\frac{n}{p_1p_2p_3}-\dotsb \]

\[（显然这里所有的除法均能整除） \]

\[提出其中一个素因子： \]

\[\begin{aligned} \varphi(n)&=n[(1-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}\dotsb-\frac{1}{p_{s-1}}+\frac{1}{p_1p_2}+\frac{1}{p_1p_3}+\dotsb)-\frac{1}{p_s}(1-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}\dotsb-\frac{1}{p_{s-1}}+\frac{1}{p_1p_2}+\frac{1}{p_1p_3}+\dotsb)]\\ &=n(1-\frac{1}{p_s})(1-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}\dotsb-\frac{1}{p_{s-1}}+\frac{1}{p_1p_2}+\frac{1}{p_1p_3}+\dotsb)\\ &=\dotsb \\ &=n\prod_{p_i}(1-\frac{1}{p_i}) \end{aligned} \]

　　解释下：就是每次在容斥的式子里面提出一个素因子，剩下的因式与没有该素因子的式子一样，可以合并，于是命题得证。

　　由此，我们看出\(\varphi(n)\)是积性函数，可以用线性筛求解。

int p[maxn], check[maxn], phi[maxn];
void init(int N) {
    check[1] = 1; phi[1] = 1;
    rep(i, 2, N) {
        if (!check[i]) { p[++p[0]] = i, phi[i] = i-1; }
        for (int j = 1; j <= p[0] && i*p[j] <= N; j++) {
            check[i*p[j]] = 1;
            if (!(p[j] % i)) {
                phi[i*p[j]] = phi[i]*p[j]; // 不互质
                break;
            }
            phi[i*p[j]] = phi[i]*(p[j]-1); // 互质
        }
    }
}

　　 当\(n>2\)时，互质的数是成对出现的，若\((n,m)=1\)，则\((n,n-m)=1\)，显然\(m\neq n-m\)，这一有用的性质可以证明：所有与\(n\)互质的数的和为\(\frac{n\varphi(n)}{2}\)。\(n\leq 2\)时特殊代入一下即可。