[NOI Online 提高组]冒泡排序

传送门

怎么说呢（咳咳），貌似是一道结论题（博主并不知道结论呀，所以就FST抱灵了呀）。好吧博主承认没看到\(k<2^{31}\)（相信没阿克的奆佬[除我]应该都RE在了这里）。测试成绩出来了，还好没有\(k\)极其之大的情况：）

先强调这里的\(\{p_i\}\)是排列。

仔细研读这个代码：

// 一轮交换
for i = 1 to n-1
    if p[i] > p[i + 1]
        swap(p[i], p[i + 1])

好像跟我刚学OI时的冒泡不一样耶

相邻的两项如果是逆序对就会进行交换。显然交换次数就是逆序对个数，不过这个没什么卯用。

再康康：发现如果一个数很大，比它后面的xx个数都要大，那么一顿排序猛如虎后，这个数会到达第一个比它大的数的前面，比如说\(\{\mathring4,1,2,3,5\}\)，一轮排序后变成了\(\{1,2,3,\mathring4,5\}\)。计\(f_i\)表示数字\(i\)所在位置前面比它大的数，那么逆序对总数就是\(\sum f_i\)。这轮排序结束后，显然\(f_i\)只减不增，并且最多只会减一，就打这个例子，原本\(f_1=f_2=f_3=1\)，之后就全变成了\(0\)。事实上由于前面最多有一个数字经过这个位置，且这个数字一定大于这个位置的数字，故最多只能使\(f_i\)减一，这个情况的发生必定有前面比它大的数字经过它。而又如果\(f_i>0\)，则前面必定有比它大的数，其中一个数字一定会经过它，而且这个数字一定是前缀最大的数字（根据前文的推断，所有比这个数字小的都被“堵在”这个最大数字前面）。

把这些信息提炼出来就是：对于数字\(i\)，排序过程中如果它所在位置前面有数字大于\(i\)，那么一轮排序会使得前面最大的数字排到\(i\)的后面，这样\(f_i\)会减一。

综上，对于数字\(i\)，其\(f_i\)在\(k\)轮排序后会变成\(\max\{f_i-k,0\}\)。

然后这道题就简单啦。维护\(f_i\)，交换两个数相当于对\(f_i\)修改（本题的修改非常简单），对于查询，实际上就是求\(\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}max\{f_i-k,0\}\)，我们可以运用差分，配上数据结构维护关于\(k\)的信息：前缀\(f_i\)和前缀\(g_i=\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant n}[f_j==i]\)（\(g_i\)即\(f_j==i\)的个数），然后查询答案对\(f_i\)进行差分再去掉\(g_i\)的差分乘上\(k\)即可。

复杂度\(\text{O}(n\log n)\)。

为什么说\(k\)很坑？你如果做\(2^{31}-1\)次排序，再查查看\(k\)前缀(⊙o⊙)?!