微积分（上）
预备知识
邻域：是一种常用的集合，设\(a,\delta \in \R,\delta > 0\)，则定义点\(a\)的\(\delta\)邻域，记作\(U(a,\delta)\)，为\((a-\delta,a+\delta)\)。点\(a\)称作邻域的中心，\(\delta\)称为邻域的半径。
去心邻域：如果把邻域的中心去掉，所得到的集合即为点\(a\)的去心\(\delta\)邻域，记作\(\mathring U(a,\delta)\)。即\((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}\)。
反函数：设一元函数\(f:D\rightarrow f(D)\)为一一映射，则称逆映射\(f^{-1}:f(D)\rightarrow D\)为函数\(f\)的反函数，即对于每个\(y\in f(D)\)，如果\(y=f(x)\)，则规定\(x=f^{-1}(y)\)。
复合函数：是一种特殊的复合映射。设两个函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，定义域分别为\(D_1\)、\(D_2\)且满足\(g(D_2)\subset D_1\)，则定义的函数\(h(x)=f[g(x)]\)称为由函数\(u=g(x)\)和函数\(y=f(u)\)构成的复合函数，其中变量\(u\)称为中间变量，\(u=g(x)\)称为中间函数，用\(f\circ g\)来表示函数\(h\)，即：\(h(x)=(f\circ g)(x)\)。
基本初等函数：1、幂函数（\(y=x^a\)）；2、指数函数（\(y=a^x,a>0且a\neq 1\)）；3、对数函数（\(y=\log_a x,a>0且a\neq 1\)），注意\(\lg x\)和\(\ln x\)的特殊意义；4、三角函数（\(\sin,\cos,\tan,\cot,\sec,\csc\)），注意它们的定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间；5、反三角函数（例如\(\arcsin,\arccos,\arctan\)等），同4。
初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和函数复合步骤所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数。
双曲函数及其反函数：一类特殊的函数，与三角函数的特点相似。
（1）双曲正弦：\(y=\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)。其反函数为\(y=\mathrm{arsinh}\ x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，这个不难解出来，求解时注意取值范围。
（2）双曲余弦：\(y=\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)。其反函数为\(y=\mathrm{arcosh}\ x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)，同上。
这几个函数同样要注意定义域和值域。
Part 1 极限与连续
Section 2 数列的极限
数列：如果按照某个法则，每个\(n\)（\(n\in\Z^+\)）对应于一个确定的实数\(x_n\)，那么可以按下标从小到大依次排列得到一个序列\(x_1,x_2,\dotsb,x_n,\dotsb\)，这就叫数列，简记为\((x_n)_{n=1}^\infty\)，或者\(\{x_n\}\)（为了避免与集合冲突，采用前面一种写法），有时也简称为数列\(x_n\)。数列的第\(n\)项也叫一般项，刻画数列的特征。
数列的极限：对于一个数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)，当\(n\)无穷增大时，\(x_n\)无限接近于一个定数\(a\)，则称\((x_n)_{n=1}^\infty\)的极限是\(a\)，并记作\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)。如果常数\(a\)不存在，则称数列没有极限，或称数列发散。
极限的定义：感性文字描述就是，对于一个数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)无论\(x_n\)与\(a\)多么接近，只要\(n\)足够大（大到满足前面条件），可以使得那么接近，则\(a\)就是该数列趋于无穷时的极限。数学语言定义是，\(\forall \varepsilon>0,\exist N\in\Z^+\)，当\(n>N\)时，总有\(\mid x_n-a\mid<\varepsilon\)；或者是\(a\in\R\)，若\(\forall U(a,\varepsilon),\exist N\in\Z^+\)，当\(n>N\)时，总有\(x_n\in U(a,\varepsilon)\)，则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)。
推论：数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)收敛于\(a\)的充要条件是，对\(\forall U(a,\varepsilon)\)，只有有限多项\(x_n\notin U(a,\varepsilon)\)。
定理1（收敛数列的有界性）：如果数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)收敛，那么该数列必定有界。逆命题不一定成立。
定理2（收敛数列的保号性）：如果\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)，且\(a>0\)（或\(a<0\)），那么存在正整数\(N\)，当\(n>N\)时，都有\(x_n>0\)（或者\(x_n<0\)）。
推论：如果数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)从某项起有\(x_n\geqslant 0\)（或者\(x_n\leqslant 0\)）且\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\)，则\(a\geqslant 0\)（或者\(a\leqslant 0\)）。该命题为定理2的逆否命题。
定理3（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列收敛，则它的任一子数列也收敛并且收敛于同一值。由此可知，如果不同的子数列收敛于不同的值，则该数列一定发散。
Section 3 函数的极限
函数在有限点处极限的定义：如果\(\forall\varepsilon>0\)，\(\exist\delta>0\)，当\(0<\mid x-x_0\mid<\delta\)时，总有\(\mid f(x)-A\mid<\varepsilon\)；或者\(\forall\varepsilon>0\)，\(\exist\delta>0\)，当\(x\in\mathring U(x_0,\delta)\)时，总有\(f(x)\in U(A,\varepsilon)\)成立，则\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\)。
结论：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在，且为该点处的函数值。
单侧极限：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某个左（右）邻域内有定义，如果存在常数\(A\)，使得对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，总存在正数\(\delta\)，只要\(x\)满足\(0<x_0-x<\delta\)（\(0<x-x_0<\delta\)），对应的函数值\(f(x)\)就满足\(\mid f(x)-A\mid<\varepsilon\)，则\(A\)称为函数\(f(x)\)在\(x_0\)处的左（右）极限，记为\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\)（\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\)），简记为\(f(x_0^-)\)（\(f(x_0^+)\)）。
推论：极限\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\)存在的充要条件是\(f(x)\)在\(x_0\)处的左、右极限都存在并相等。
函数在无穷大处极限的定义：如果\(\forall\varepsilon>0\)，\(\exist X>0\)，当\(\mid x\mid>0\)时，总有\(\mid f(x)-A\mid<\varepsilon\)，则\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\)。如果\(x>0\)且\(x\)无穷增大，那么只要将上面的\(\mid x\mid<X\)改成\(x<X\)，就可以得到\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\)的定义；同理，我们也可以得到\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\)的定义。
结论：如果\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=c\)或者\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=c\)，那么函数\(y=f(x)\)的图形就有水平渐近线\(y=c\)。
定理1（有极限的函数的局部有界性）：如果极限\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\)存在，那么在\(x_0\)的某个去心邻域中内，函数\(f(x)\)有界。
定理2（有极限的函数的局部保号性）：如果\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\)，且\(A>0\)（或\(A<0\)），那么在点\(x_0\)的某个去心邻域内，\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）。类似的，如果\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\)，且\(A>0\)（或\(A<0\)），那么存在\(X>0\)，使得在无穷区间\((-\infty,-X)\cup(X,+\infty)\)内，\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）。
推论：如果在点\(x_0\)的某个去心邻域内，\(f(x)\geqslant 0\)（或\(f(x)\leqslant 0\)），且\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\)，那么\(A\geqslant 0\)（\(\leqslant 0\)）。
定理3（函数极限与数列极限的关系）：设\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\)存在，又设\((x_n)_{n=1}^\infty\)是函数\(f(x)\)的定义域中的一个数列，它满足\(x_n\neq x_0(n=1,2,\dotsb)\)且\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x_n=x_0\)，那么相应的数列\((f(x_n))_{n=1}^\infty\)收敛，且\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\)。
推论：如果存在一个趋于\(x_0\)且各项异于\(x_0\)的数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)，对应的函数值数列\((f(x_n))_{n=1}^\infty\)发散；或者存在两个趋于\(x_0\)且各项异于\(x_0\)的数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)和\((x'_n)_{n=1}^\infty\)，使得\((f(x_n))_{n=1}^\infty\)和\((f(x'_n))_{n=1}^\infty\)都收敛，但极限不同，则当\(x\rightarrow x_0\)时，\(f(x)\)的极限不存在。这两个推论分别由定理3的逆否命题和反证得到。
Section 4 极限的运算法则
无穷小的定义：如果当\(x\rightarrow x_0\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时，函数\(\alpha(x)\)的极限为零，那么\(\alpha(x)\)叫做\(x\rightarrow x_0\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时的无穷小。注意，无穷小是一个以零为极限的函数，除常数0可做无穷小外，其他任何非零常数，无论它多么小，都不是无穷小。
引理：在自变量的同一变化中，函数\(f(x)\)有极限\(A\)的充要条件是\(f(x)=A+\alpha\)，其中\(\alpha\)是无穷小。
定理1：（1）有限个无穷小之和为无穷小；（2）有界函数与无穷小之积为无穷小。
推论：（1）常数与无穷小之积为无穷小；（2）有限个无穷小之积为无穷小。
无穷大的定义：对于任意给定的正数\(M\)（无论它有多么大），总存在正数\(\delta\)（或者正数\(X\)），使得当定义域中的\(x\in\mathring U(x_0,\delta)\)（或者\(\mid x\mid>X\)），总有\(f(x)>M\)成立，则称函数\(f(x)\)是当\(x\rightarrow x_0\)（\(x\rightarrow\infty\)）时的无穷大，记为\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\)（或\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\)）。如果把定义中的\(\mid f(x)\mid>M\)换成\(f(x)>M\)或者\(f(x)<-M\)，上式就记为\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0(\infty)}f(x)=+\infty\)或者\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0(\infty)}f(x)=-\infty\)。注意即使我们可以说“函数的极限是无穷大”，但这并不意味着函数\(f(x)\)存在极限。同时注意，无穷大不是一个数，不等于无界。
结论：如果\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+(x_0^-)}f(x)=\infty\)，则直线\(x=x_0\)是函数\(y=f(x)\)的图形的铅直渐近线。
推论：在自变量的同一变化中，（1）若\(f(x)\)是无穷大，则\(\dfrac{1}{f(x)}\)是无穷小；（2）若\(f(x)\)是无穷小，且\(f(x)\neq 0\)，则\(\dfrac{1}{f(x)}\)是无穷大。
注意 在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定结果的，须具体分析。
定理2（极限的四则运算）：（同一命题中，考虑\(x\)的同一变化过程，极限简记为\(\lim\)）设\(\lim f(x)=A\)，\(\lim g(x)=B\)，那么：（1）\(\lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B=\lim f(x)\pm\lim g(x)\)；（2）\(\lim[f(x)g(x)]=AB=\lim f(x)\cdot\lim g(x)\)；（3）若\(B\neq 0\)，则有\(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{A}{B}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\)。
推论（极限运算的线性性质）：如果\(\lim f(x)=A\)，\(\lim g(x)=B\)，\(\lambda,\mu\)是两个常数，那么\(\lim[\lambda f(x)+\mu g(x)]=\lambda A+\mu B=\lambda f(x)+\mu g(x)\)。
结论：当\(a_0,b_0\neq 0\)时，
定理3（复合函数的极限运算法则）：设\(\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=A\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}u(x)=u_0\)，且在\(x_0\)的某去心邻域内\(u(x)\neq u_0\)，则复合函数\(f[u(x)]\)当\(x\rightarrow x_0\)处的极限存在，且\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f[u(x)]=\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=A\)。
Section 5 极限存在准则与两个重要极限
夹逼准则：设函数\(f(x),g(x),h(x)\)满足：（i）当\(x\in\mathring U(x_0,r)\)（或\(\mid x\mid>M\)）时，有\(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\)；（ii）\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0(\infty)}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0(\infty)}h(x)=A\)。则\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0(\infty)}f(x)\)存在且等于\(A\)。对于数列收敛的夹逼准则类似且同样适用。
一个基本不等式：\(\sin x<x<\tan x\left(x\in(0,\dfrac{\pi}{2})\right)\)。可以用来证明下面的一个极限。
重要极限之一：\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}x=1\)。
一个有意思的数列极限：\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1\)。这两个极限都可以用夹逼准则证明。
单调数列：对于一个数列\((x_n)_{x=1}^\infty\)，如果满足\(x_1\leqslant x_2\leqslant\dotsb\leqslant x_n\leqslant\dotsb\)，则称它为单调增加（或递增）数列；如果满足\(x_1\geqslant x_2\geqslant\dotsb\geqslant x_n\geqslant\dotsb\)，则称它为单调减少（或递减）数列；这些统称为单调数列。
单调有限收敛准则：若单调增加数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)有上界，即存在数\(M\)，使得\(x_n\leqslant M(n=1,2,\dotsb)\)，则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)存在且不大于\(M\)；若单调减少数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)有下界，即存在数\(N\)，使得\(x_n\geqslant N(n=1,2,\dotsb)\)，则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)存在且不小于\(M\)。这个可以导出下面的一个极限。
重要极限之二：设\(x_n=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\)，可以证得数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)是单调增加的有界数列，根据单调有限收敛准则知极限\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\)存在，我们用\(e\)来表示这个极限，即\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\)，可以证明\(e\approx2.718281828459045\dotsb\)。通过数列的极限，我们可以得到函数\(f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\)的极限\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\)。该极限的另一种表达形式：\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e\)。
幂指函数的极限：形如\([f(x)]^{g(x)},(f(x)\not\equiv 1)\)的函数，如果\(\lim f(x)=A>0\)，\(\lim g(x)=B\)，不难证得\(\lim[f(x)]^{g(x)}=A^B\)。
Section 6 无穷小的比较
高阶、低阶、同阶、等价无穷小：设\(\alpha\)与\(\beta\)是在同一自变量的同一变化过程中的两个无穷小，且\(\lim\dfrac\beta\alpha\)表示这个变化过程中的极限。（1）如果\(\lim\dfrac\beta\alpha=0\)，称\(\beta\)是比\(\alpha\)高阶的无穷小，记为\(\beta=o(\alpha)\)；或者称\(\alpha\)是比\(\beta\)低阶的无穷小；（2）如果\(\lim\dfrac\beta\alpha=c\)，其中\(c\neq 0\)，则称\(\beta\)是与\(\alpha\)同阶的无穷小或者\(\alpha\)是与\(\beta\)同阶的无穷小；（3）如果\(\lim\dfrac\beta\alpha=1\)，则称\(\beta\)与\(\alpha\)是等价无穷小，记为\(\beta\sim\alpha\)。
结论：设\(\alpha\)与\(\beta\)是两个无穷小，则\(\alpha\sim\beta\)的充要条件是\(\alpha=\beta+o(\beta)\)。这里我们称\(\beta\)是\(\alpha\)的主要部分。
\(k\)阶无穷小：为了较精细地刻画出无穷小的形态，往往会选取一个无穷小作为基本无穷小，往往选取最简单的，例如当\(x\to 0\)时选取\(x\)，而当\(x\to\infty\)时选取\(\dfrac1x\)。如果\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac\alpha{x^k}=c\)，就说当\(x\to0\)时\(\alpha\)是\(x\)的\(k\)阶无穷小。
等价无穷小的代换性质：设\(\alpha,\overline\alpha,\beta,\overline\beta\)是无穷小，且\(\alpha\sim\overline\alpha\)，\(\beta\sim\overline\beta\)，如果\(\lim\dfrac{\overline\beta}{\overline\alpha}\)存在，那么\(\lim\dfrac\beta\alpha=\lim\dfrac{\overline\beta}{\overline\alpha}\)。
结论：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可以对其中的任意一个或几个无穷小的因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。注意对于分子或分母是若干项的代数和，一般不能对其中某个加项作代换，否则可能出错。
根据等价无穷小的传递性，我们作一个归纳（均为当\(x\to0\)）：
\(x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\bold{\ln(1+x)}\sim\bold{e^x-1}\)；
\(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}2\)；
\(\bold{(1+x)^a-1\sim ax}\)；
\(\bold{a^x-1\sim x\ln a}\)。
Section 7 函数的连续性与连续函数的运算
函数在点\(x_0\)处连续：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域处有定义，如果\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在，并且等于\(f(x_0)\)，则称函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续，也就是说对于任意的正数\(\varepsilon\)，总存在正数\(\delta\)，对于所有满足\(\mid x-x_0\mid<\delta\)的\(x\)，总有\(\mid f(x)-f(x_0)\mid<\varepsilon\)成立；或者用另一种等价的定义，设变量\(u\)从初值\(u_1\)变到终值\(u_2\)，则终值与初值之差\(u_1-u_2\)为变量\(u\)（在\(u_1\)处）的增量，记作\(\Delta u\)，易知其可正可负，现在假设函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)的某个邻域内有定义，当\(x_0\)变成\(x_0+\Delta x\)时，函数\(y\)从\(f(x_0)\)变到\(f(x_0+\Delta x)\)，所以\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)，若\(x=x_0+\Delta x\)，则\(x\to x_0\)即为\(\Delta x\to0\)，\(f(x)=f(x_0+\Delta x)\to f(x_0)\)即为\(\Delta y\to0\)，若\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0\)，则\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处连续，并说\(x_0\)是\(f(x)\)的连续点。同理如果是左极限或者右极限与函数值相等，就说函数\(f(x)\)在\(x_0\)处左连续和右连续。
推论：若函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某一邻域内有定义，则它在\(x_0\)处连续的充要条件即为它在\(x_0\)处左连续且右连续。
区间上的连续函数：或称函数在该区间上连续。即在区间上的每一个点都连续的函数。如果区间包含端点，则函数的左端点连续是指右连续，右端点连续是指左连续。用记号\(f\in C(I)\)表示函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，其中\(C(I)\)表示在区间\(I\)上全体连续函数之集。
根据第三节的相关结论，可以得到基本初等函数在其定义域内的任意区间上都是连续的。
间断点：指函数\(f(x)\)在\(x_0\)处不连续的点。也称\(f(x)\)在\(x_0\)处不连续或间断。
常见的间断点：（1）可去间断点，如果\(x_0\)是函数\(f(x)\)的间断点，而\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在。重新定义\(f(x_0)\)可使\(x_0\)处连续；（2）跳跃间断点：函数在\(x_0\)处的左右极限不相等；（3）无穷间断点：当\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)时；（4）振荡间断点：当\(x\to x_0\)时，函数值\(f(x)\)无限次地在两个不同的数之间变动。当左右极限都存在时称之为第一类间断点，其他的全部称为第二类间断点。
定理1（函数的和、差、积、商的连续性）：设函数\(f(x)\)与\(g(x)\)在点\(x_0\)处连续，那么他们的和差\(f(x)\pm g(x)\)、积\(f(x)\cdot g(x)\)与商\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)（当\(g(x)\ne0\)时）都在点\(x_0\)处连续。
定理2（复合函数的连续性）：设函数\(f(x)\)在点\(u=u_0\)处连续，而函数\(u=u(x)\)在点\(x=x_0\)处连续，且\(u(x_0)=u_0\)，则复合函数\((f\circ u)(x)\)在点\(x=x_0\)处连续。于是当条件成立时，有\(\lim\limits_{x\to x_0}f(g(x))=\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)=f[\lim\limits_{x\to x_0}u(x)]\)成立。
定理3（反函数的连续性）：设定义在区间\(I_x\)上的函数\(y=f(x)\)在该区间上单调增加（减少）且连续，则它的反函数\(x=f^{-1}(y)\)存在且其在对应的区间\(I_y=\{y\mid y=f(x),x\in I_x\}\)上单调增加（减少）且连续。
结论：一切初等函数在其定义域内的任一区间上都是连续的。
\(\max\)和\(\min\)的变形：\(max\{a,b\}=\dfrac12(a+b+\mid a-b\mid)\)，\(min\{a,b\}=\dfrac12(a+b-\mid a-b\mid)\)。
Section 8 闭区间上连续函数的性质
最大值最小值定理：设\(f(x)\)定义在区间\(I\)上，如果至少存在一点\(\xi\in I\)，使对于每一个\(x\in I\)，有\(f(x)\leqslant f(\xi)\)成立，就称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有最大值\(f(\xi)\)，并记\(f(\xi)=\max\limits_{x\in I}\{f(x)\}\)；同理，如果至少存在一点\(\eta\in I\)，使得对于每一个\(x\in I\)，有\(f(x)\geqslant f(\eta)\)成立，就称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有最小值\(f(\eta)\)，并记\(f(\eta)=\min\limits_{x\in I}\{f(x)\}\)。函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有最大（小）值，也称函数\(f(x)\)的最大（小）值在区间\(I\)上可以达到。
定理1：闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值。用记号\(B[a,b]\)表示在闭区间\([a,b]\)上的全体有界函数之集。这样该定理可以用符号表示：\(f\in C[a,b]\Rightarrow f\in B[a,b]\)，且\(\exist\xi,\eta\in[a,b]\)，使得\(\max\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}=f(\xi)\)，\(\min\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}=f(\eta)\)。
定理2（零点定理）：若函数\(f(x)\)在闭区间上连续，且\(f(a),f(b)\)异号，则\(f(x)\)在开区间\((a,b)\)内至少有一个零点。符号表述为：\(f\in[a,b]\)且\(f(a)\cdot f(b)<0\Rightarrow\exist x_0\in(a,b)\)，使\(f(x_0)=0\)。
定理3（介值定理）：设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\ne f(b)\)，则对于\(f(a)\)与\(f(b)\)之间的任何实数\(\mu\)，在区间\((a,b)\)内至少存在一点\(x_0\)，使得\(f(x_0)=\mu\)。
推论：闭区间上的连续函数必须取得介于最大值和最小值之间的任何值。
Part 2 一元函数微分学
Section 1 导数的概念
切线：设曲线\(C\)以及\(C\)上一点\(M\)，在\(C\)上另取一点\(N\)，作割线\(MN\)，当点\(N\)沿曲线\(C\)趋向于点\(M\)时，如果割线\(MN\)绕点\(M\)旋转而趋向某一极限位置\(MT\)时，直线\(MT\)就称作曲线\(C\)在\(M\)处的切线，这里极限位置的含义是：当点\(N\)沿曲线\(C\)趋于点\(M\)时，\(\angle NMT\)趋于\(0\)。
切线的斜率：如果函数在\(x_0\)处有定义，根据切线的定义可以得到函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)处切线的斜率为\(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)。
导数的定义：在上面切线的斜率中，如果\(\Delta y\)与\(\Delta x\)之比在\(\Delta x\to0\)时的极限存在，称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，并称这个极限为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数，记为\(f'(x_0),y'\Big|_{x=x_0},\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\Big|_{x=x_0},\dfrac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}\Big|_{x=x_0}\)。即\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)。函数在点\(x_0\)处的导数就是函数在该点的变化率。
如果函数\(y=f(x)\)在开区间\(I\)内的每一点都可导，那么就称函数\(y\)在区间\(I\)内可导（或称其为可导函数），记作\(f\in D(I)\)，此时对任意\(x\in I\)，都对应着一个确定的导数值，就定义了一个以\(I\)为定义域的新函数，这个函数被称为导函数，简称导数，记为\(f'(x),y',\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx},\dfrac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}\)。求导是一种运算，记号为“\('\)”或“\(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\)”。综上，导函数的定义为\(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta y)-f(x)}{\Delta x},x\in I\)。因此，导函数在\(M(x_0,f(x_0))\)处的切线方程为\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)。
当\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to\infty\)时，称\(y=f(x)\)在\(x_0\)处的导数为无穷大。如果在点\(x_0\)处连续且导数为无穷大，则曲线\(y=f(x)\)在点\(M(x_0,f(x_0))\)处有一条切线\(x=x_0\)。
单侧导数：即在点\(x_0\)处的左导数和右导数。左导数定义为\(f_-'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0^-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)，右导数定义为\(f_+'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)。由此不难得到结论：函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，即\(f'(x_0)\)存在的充要条件为左右导数\(f_-'(x_0)\)和\(f_+'(x_0)\)存在且相等。如果\(f(x)\)在\((a,b)\)内可导，且\(f_+'(a),f_-'(b)\)存在，则\(f(x)\)在闭区间上可导。
可导与连续性的关系：如果函数在某点处可导，则函数在该点处一定连续。反之未必。
Section 2 求导法则
函数的线性组合、积、商的求导法则：（1）线性组合\((\alpha u+\beta v)'=\alpha u'+\beta v'\)；（2）积满足\((uv)'=u'v+uv'\)；（3）商满足\(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)。
反函数的导函数：若函数\(x=\varphi(y)\)在区间\(I_y\)内单调且可导，且导数\(\varphi'(y)\ne0\)，则它的反函数\(y=f(x)\)在对应区间\(I_x\)内单调可导，且有\(f'(x)=\dfrac1{\varphi'(y)}\)。
复合函数的导数：如果\(u=\varphi(x)\)在点\(x_0\)处可导，而\(y=f(u)\)在点\(u_0=\varphi(x_0)\)处可导，那么复合函数\(y=f[\varphi(x)]\)在点\(x_0\)处可导，并且其导函数\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\Big|_{x=x_0}=f'(u)\cdot\varphi'(x_0)\)。
基本初等函数的导函数：
（1）\((C)'=0\)；（2）\((x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}\)；（3）\((a^x)'=a^x\ln a\)，\((e^x)'=e^x\)；（4）\((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)；（5）\((\tan x)'=\sec^2x\)，\((\sec x)'=\sec x\cdot \tan x\)；\((\cot x)'=-\csc^2x\)，\((\csc x)'=-\csc x\cdot\cot x\)；（6）\((\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\arccos x)'=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)；\((\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}\)，\((\mathrm{arccot}\ x)'=-\dfrac1{1+x^2}\)；（7）\((\log_ax)'=\dfrac1{x\ln a}\)，\((\ln x)'=\dfrac1x\)；（8）\((\sinh x)'=\cosh x\)，\((\cosh x)'=\sinh\)。
Section 3 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
显函数和隐函数：形如\(y=f(x)\)的函数，左边为\(y\)，右边为关于\(x\)的算式，当\(x\)在某一区间内取任意的值时，由\(f(x)\)能确定对应的函数值\(y\)，称之为显函数。有些函数的变量\(x\)和\(y\)之间的关系满足\(F(x,y)=0\)，\(F(x,y)\)表示变量\(x\)与\(y\)关系的算式，而在一定条件下，当\(x\)在某一区间内取任意的值时，相应地总有满足方程的唯一的\(y\)存在，则称方程\(F(x,y)=0\)在区间内确定了一个\(y\)关于\(x\)的隐函数。例如\(y=x^n,y=\sin x\)是显函数，而\(x+y^3-1=0,y=x+\varepsilon\sin y\)是隐函数。有时隐函数可以转化成显函数，称为隐函数的显化，而有的隐函数是不能显化的。
对隐函数求导时往往两边同时对同一变量求导，这样可以避免隐函数的显化。
对数求导法：求幂指函数\(y=[u(x)]^{v(x)}\)的导数时可以先取对数变成\(\ln y=v(x)\ln u(x)\)，之后便可以用隐函数求导的方法。或者对于类似\(y=\dfrac{a^xb^y}{c^z}\)等等的函数变成\(\ln y=x\ln a+y\ln b+z\ln c\)再求导也是很方便的。
正交的相关概念：如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直，称这两条曲线在该点正交（或直交），如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族中的所有和它相交的曲线均正交，就称这两个曲线族是正交的（或互为正交轨线）。
由参数方程确定函数：若参数方程\(\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases},t\in I_t\)确定\(y\)与\(x\)之间的关系，称此函数为由参数方程所确定的函数。如果\(\psi'(t)\)和\(\varphi'(t)\)存在，且\(\varphi'(t)\ne0\)，通过导函数的运算法则推导出\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)。
相关变化率：当变量\(x\)与\(y\)之间存在关系时，它们的变化率\(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\)与\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\)也就存在一定的关系，此时把这两个相互依赖的关系称为相关变化率。
Section 4 高阶导数
二阶函数：对于\(y=f(x)\)可导，我们能得到\(f'(x)\)，对于\(x_0\in I\)，如果\(f'(x)\)在点\(x_0\)处可导，称\(f'(x)\)在\(x_0\)处的导函数为\(f(x)\)在\(x_0\)处的二阶导数，记为\(f''(x_0),y''\Big|_{x=x_0},\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\Big|_{x=x_0},\dfrac{\mathrm d^2f(x)}{\mathrm dx^2}\Big|_{x=x_0}\)；如果对于任意\(x\in I\)，\(f'(x)\)在\(x\)处均可导，则把\(f'(x)\)的导数称为\(y=f(x)\)的二阶导函数，简称二阶导数，记为\(f''(x),y'',\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2},\dfrac{\mathrm d^2f(x)}{\mathrm dx^2}\)。类似地我们可以定义\(n\)阶导数，记号为\(f^{(n)}(x),y^{(n)},\dfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n},\dfrac{\mathrm d^nf(x)}{\mathrm dx^n}\)。当\(n=3\)时可以写作\(f'''(x)\)或\(y'''(x)\)。如果\(f(x)\)的\(n\)阶导数在区间\(I\)内的每一点都存在，则称\(f(x)\)是\(I\)内的\(n\)阶可导函数，记作\(f\in D^n(I)\)。
几个常见函数的\(n\)阶导数：
（1）\((x^n)^{(n)}=n!\)，\((\dfrac1{x^n})^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}\)；（2）\((e^x)^{(n)}=e^x\)；（3）\((\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\dfrac{\pi}2)\)，\((\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\dfrac{\pi}2)\)；（4）\([\ln(1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n},(x>-1)\)。
由参数方程确定的函数的二阶导数：假设\(\psi''(t)\)和\(\varphi''(t)\)存在且\(\varphi''(t)\ne0\)，则\(\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\dfrac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}\)。
高阶导数的运算法则：（1）线性法则\((\alpha u+\beta v)^{(n)}=\alpha u^{(n)}+\beta v^{(n)}\)；（2）莱布尼兹公式：\((uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}u^{(n-k)}v^{(k)}\)。
Section 5 函数的微分与函数的线性逼近
微分的定义：设函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)的某个邻域内有定义，当自变量在\(x_0\)处取得增量\(\Delta x\)时，如果相应的函数的增量\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)可以表示成\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)，其中\(A\)是与\(x_0\)有关而不依赖于\(\Delta x\)的常数，\(o(\Delta x)\)是当\(\Delta x\to0\)时比\(\Delta x\)高阶的无穷小量，那么称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)是可微的，\(A\Delta x\)称为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)相应于自变量的增量\(\Delta x\)的微分，记为\(\mathrm dy\)，即\(\mathrm dy=A\Delta x\)。由下面的定理得到\(\mathrm dy=f'(x_0)\Delta x\)。
如果该函数在区间\(I\)内每一点处都可微，则称\(f(x)\)是\(I\)内的可微函数，函数在\(I\)内的任意一点\(x\)处的微分就称为函数的微分，也记为\(\mathrm dy\)。由下面的定理得到\(\mathrm dy=f'(x)\Delta x\)。
定理：函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可微的充要条件是函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，并且当\(f(x)\)在点\(x_0\)处可微时，\(\mathrm dy=f'(x_0)\Delta x\)。
通常把自变量\(x\)的增量\(\Delta x\)称为自变量的微分，记为\(\mathrm dx\)，即\(\mathrm dx=\Delta x\)，于是函数的微分又可以记为\(\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx\)。
基本微分公式：（略，可以根据函数的微分推导出来）
微分运算法则：（1）线性组合，\(\mathrm d(\alpha u+\beta v)=\alpha\mathrm du+\beta\mathrm dv\)；（2）积，\(\mathrm d(uv)=v\mathrm du+u\mathrm dv\)；（3）商，\(\mathrm d\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{v\mathrm du-u\mathrm dv}{v^2}\)；（4）复合函数微分法则，设\(y=f(u),u=\varphi(x)\)，由\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'[\varphi(x)]\cdot\varphi'(x)\)得到\(\mathrm dy=f'[\varphi(x)]\cdot\varphi'(x)\mathrm dx=f'(u)\mathrm du\)，可见，无论\(u\)是自变量还是另一变量的可微函数，微分\(\mathrm dy=f'(u)\mathrm du\)的形式保持不变，称为微分形式不变性。
根据微分的定义，有\(\mathrm dy\approx\Delta x\)成立，且误差仅为\(\Delta x\)的高阶无穷小，且当\(\Delta\to0\)时，\(\Delta y\sim\mathrm dy\)，故也称微分\(\mathrm dy\)是增量\(\Delta y\)的线性主部。
线性逼近或一次近似：当\(\mid\Delta x\mid\)很小时，有\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\Delta x\Rightarrow f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\xrightarrow{x_0+\Delta x=x}f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)。最后一个式子的右端是\(x\)的一次多项式，称为\(f(x)\)在\(x_0\)处的线性逼近或一次近似。
常用的一次近似式：当\(\mid x\mid\)较小时，（1）\(e^x\approx 1+x\)；（2）\(sinx\approx x\)；（3）\(tanx\approx x\)；（4）\((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\)；（5）\(\ln(1+x)\approx x\)。
误差分析：在获得数据的过程中，会直接或间接测量一些数据后进一步通过计算得到，在测量过程中往往会存在误差，人们把这种误差称为间接测量误差。如果某个量的精确值是\(A\)，它的近似值是\(a\)，称\(\mid A-a\mid\)为\(a\)的绝对误差；而绝对误差与\(\mid a\mid\)的比\(\dfrac{\mid A-a\mid}{\mid a\mid}\)称为\(a\)的相对误差。实际工作中无法获得精确值，但可以依据测量仪器的精度等将测量的绝对误差控制在某个限度内，若能确定\(\delta_A\)，使得\(\mid A-a\mid\leqslant\delta_A\)，则\(\delta_A\)称为绝对误差限，这时\(\dfrac{\delta_A}{\mid a\mid}\)就叫做\(A\)的相对误差限。
Section 6 微分中值定理
费马引理：\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，且在某个邻域\(U(x_0)\)内\(f(x)\leqslant f(x_0)\)（或\(f(x)\geqslant f(x_0)\)）\(\Rightarrow f'(x_0)=0\)
罗尔中值定理：\(f\in C[a,b]\cup D(a,b)\)且\(f(a)=f(b)\)\(\Rightarrow\exist\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。
拉格朗日中值定理：\(f\in C[a,b]\cup D(a,b)\)\(\Rightarrow\exist\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。又称微分中值定理，有时称有限增量定理。
有限增量公式：由上面定理不难得出：把\(x\)看作\(a\)，\(x+\Delta x\)看作\(b\)，那么\(\exist\theta\in(0,1)\)，使得\(\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\Delta x\)成立，这个式子即为有限增量公式。
推论：\(\forall x\in I,f'(x)\equiv0\)\(\Rightarrow\forall x\in I,f(x)\equiv C\)
柯西中值定理：\(f,g\in C[a,b]\cup D(a,b)\)且\(g'(x)\ne0\)\(\Rightarrow\exist\xi\in(a,b)\)，使得\(\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。
补充：设函数\(f(x)\)在\([x_0,x_0+\delta]\)上连续，在\((x_0,x_0+\delta)\)上可导，如果导函数的有极限\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f'(x)\)存在，那么\(f(x)\)在\(x_0\)处有右导数，且\(f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f'(x)\)。对于左导数类似。证明可通过拉格朗日中值定理得。
Section 7 泰勒公式
泰勒多项式：对于一个函数\(f(x)\)，记多项式\(P_n(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dotsb+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)为\(f(x)\)关于\((x-x_0)\)的\(n\)阶泰勒多项式。
定理1（泰勒中值定理）：如果函数\(f(x)\)在含\(x_0\)的某个开区间\((a,b)\)内具有直到\(n+1\)阶的导数，那么对于\(x\in(a,b)\)，有\(f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dotsb+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)成立，其中\(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，这里\(\xi\)是\(x_0\)与\(x\)之间的某个数。该公式称为\(f(x)\)在点\(x_0\)处的\(n\)阶泰勒公式，\(R_n(x)\)被称为拉格朗日型余项。该定理是拉格朗日中值定理的推广。如果用泰勒多项式\(P_n(x)\)来近似表达函数\(f(x)\)时，其误差为\(\mid R_n(x)\mid\)，如果存在常数\(M>0\)，使得\(\forall x\in(a,b)\)，\(\mid f^{(n+1)}(x)\mid\leqslant M\)成立，则误差估计式\(\mid R_n(x)\mid\leqslant\dfrac M{(n+1)!}\mid x-x_0\mid^{n+1}\)成立。当\(x_0=0\)时泰勒多项式又被称为麦克劳林多项式，泰勒公式又被称为麦克劳林公式。此时\(\xi\)可用\(\theta x(\theta\in(0,1))\)代替，余项公式\(R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}\)，误差估计式\(\mid R_n(x)\mid\leqslant\dfrac M{(n+1)!}\mid x\mid^{n+1}\)。
定理2：如果函数\(f(x)\)在含有\(x_0\)的开区间\((a,b)\)内具有直到\(n+1\)阶导数，且\(f^{(n+1)}(x)\)在\((a,b)\)内有界，则\(f(x)\)在\((a,b)\)内具有\(n\)阶带有佩亚诺型余项的泰勒公式\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dotsb+\dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\)。
常见函数的麦克劳林公式（\(n\)阶公式、余项、以及用\(n\)阶多项式估计的误差）：
（1）\(e^x=1+x+\dfrac1{2!}x^2+\dotsb+\dfrac1{n!}x^n+R_n(x)\)，余项\(R_n(x)=\dfrac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}=o(x^n)(0<\theta<1)\)，误差\(\mid R_n(x)\mid<\dfrac{e^{\mid x\mid}}{(n+1)!}\mid x\mid^{n+1}\)；
（2）\(\sin x=x-\dfrac1{3!}x^3+\dfrac1{5!}x^5-\dotsb+\dfrac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1}+R_{2m}(x)\)，余项\(R_{2m}(x)=\dfrac{\sin\left[\theta x+(2m+1)\dfrac\pi2\right]}{(2m+1)!}x^{2m+1}=o(x^{2m})(0<\theta<1)\)，误差\(\mid R_{2m}(x)\mid\leqslant\dfrac1{(2m+1)!}\mid x\mid^{2m+1}\)；
（3）\(\cos x=1-\dfrac1{2!}x^2+\dfrac1{4!}x^4-\dotsb+\dfrac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m}+R_{2m+1}(x)\)，余项\(R_{2m+1}=\dfrac{\cos[\theta x+(m+1)\pi]}{(2m+2)!}x^{2m+2}=o(x^{2m+1})(0<\theta<1)\)，误差\(\mid R_{2m+1}\mid\leqslant\dfrac1{(2m+2)!}\mid x\mid^{2m+2}\)；
（4）\(\ln(1+x)=1+x-\dfrac12x^2+\dfrac13x^3-\dotsb+\dfrac{(-1)^{n-1}}nx^n+R_n(x)\)，余项\(R_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}x^{n+1}=o(x^n)(0<\theta<1)\)；
（5）\((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x+\dotsb+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\dotsb(\alpha-n+1)}{n!}x^n+R_n(x)\)，余项\(R_n(x)=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\dotsb(\alpha-n+1)}{(n+1)!}(1+\theta x)^{\alpha-n-1}x^{n+1}=o(x^n)(0<\theta<1)\)。这个很重要，当\(\alpha\in\Z\)时即为二项式定理，非整数时其无穷形式又称为广义二项式定理。
Section 8 洛必达法则
未定式：给定两个函数\(f(x)\)、\(g(x)\)，当\(\lim f(x)\)和\(\lim g(x)\)均为\(0\)或者\(\infty\)时，\(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}\)可能存在，也可能不存在，通常称这种类型的极限为未定式。
定理1：设\(f(x)\)，\(g(x)\)在点\(x_0\)的某去心邻域内可导，并且\(g'(x)\neq0\)，又满足条件（i）\(\lim f(x)=\lim g(x)=0\)；（ii）极限\(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}\)存在或为\(\infty\)，那么\(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。可通过柯西中值定理推出\((x\to x_0^+)\)的情况，并以此推广到所有情况。注意，仅仅当其为未定式以及求导后的极限存在或为\(\infty\)才可以运用。
定理2：设\(f(x)\)，\(g(x)\)在点\(x_0\)的某去心邻域内可导，并且\(g'(x)\neq0\)，又满足条件（i）\(\lim f(x)=\infty\)（根据《数学分析》，该条件可去掉），\(\lim g(x)=\infty\)；（ii）极限\(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}\)存在或为\(\infty\)，那么\(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。这个的推导较为复杂，需要借助柯西中值定理以及极限的相关概念结合进行推导，详见《数学分析》。
Section 9 函数单调性与曲线凹凸性的判别法
结论：根据导数的定义以及极限的保号性，容易得到，如果可导函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调增加（减少），则对任意的\(x\in(a,b)\)，有\(f'(x)\geqslant0\)（\(\leqslant0\)）。
函数单调性判定法：设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)上可导，如果对于任意的\(x\in(a,b)\)，有\(f'(x)>0\)（\(<0\)）成立，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调增加（单调减少）。运用拉格朗日中值定理说明。如果\(f'(x)\)在某个区间内非负（或非正），且使\(f'(x)\)为零的点在任何有限子区间内只有有限多个，那么函数\(f(x)\)在该区间内仍然单调增加（单调减少）。
定义：设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，如果对任意对\(x_1,x_2\in I(x_1\ne x_2)\)，总有\(f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2\)，则称曲线\(y=f(x)\)在区间\(I\)内是下凸的（或称凹弧），将“\(<\)”改成“\(>\)”即称为上凸的（或称凸弧）。如果函数\(y=f(x)\)在经过点\((x_0,f(x_0))\)时改变了凹凸性，那么称该点是曲线\(y=f(x)\)的拐点。
函数凹凸性判别法1：设\(f(x)\)在\(I\)内可导，且导函数\(f'(x)\)在\(I\)内单调增加（单调减少），那么曲线\(y=f(x)\)在\(I\)内是下凸的（上凸的）。
函数凹凸性判别法2：若\(f(x)\)在\(I\)内二阶可导，且对于任意的\(x\in I\)，有\(f''(x)>0\)（或\(f''(x)<0\)）成立，则曲线\(y=f(x)\)在\(I\)内是下凸的（或上凸的）。
Section 10 函数的极值与最大、最小值
定义：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在\(x_0\)的某个邻域\(U(x_0)\subset D\)，使得对任意的\(x\in\mathring U(x_0)\)，有\(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），则称\(f(x_0)\)使函数\(f(x)\)的一个极大值（或极小值）。点\(x_0\)是\(f(x)\)的一个极大值点（或极小值点）。函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。函数的驻点以及不可导点称为可疑极值点。
定理1（第一充分条件）：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续，在点\(x_0\)的某去心邻域\(\mathring U(x_0,\delta)\)内可导，（1）若\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)时，\(f'(x)>0\)，而\(x\in(x_0,x_0+\delta)\)时，\(f'(x)<0\)，则\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极大值；（2）若\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)时，\(f'(x)<0\)，而\(x\in(x_0,x_0+\delta)\)时，\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极小值；（3）若\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)时，\(f'(x)\)的符号保持不变，则点\(x_0\)不是\(f(x)\)的极值点。
定理2（第二充分条件）：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处有二阶导数，且\(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0)\ne 0\)，那么（1）当\(f''(x_0)<0\)时，函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极大值；（2）当\(f''(x_0)>0\)时，函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极小值。
应用：设函数\(f(x)\)，求其在某个集合\(D\)内的最大值和最小值的问题时，函数\(f(x)\)被称为目标函数，集合\(D\)被称为约束集。假定函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，除有限个点外可导，并且至多在有限个点处导数为零，由闭区间的性质易知存在最大值和最小值，且一定会在驻点、不可导点或者区间端点处取得。
