[SDOI2012]Longge的问题

这道题是数论题，所以需要一些变形。

考虑求所有$\gcd$的和，我们采用分组求解，也就是根据$i$和$N$的$\gcd$的值进行分组。

$$\begin{array}{ll}&\sum\limits_{i=1}^N\gcd(i,N) \\ = &\sum\limits_{d|n}d\sum\limits_{i=1}^N[\gcd(i,N)=d]\\=&\sum\limits_{d|n}d\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac Nd)=1]\\=&\sum\limits_{d|n}d\varphi(\frac Nd) \end{array}$$

于是就可以将复杂度降成根号级别的了。

然后因为$\varphi$的参数过大，不能用$\text{Euler}$筛，所以暴力用$O(\sqrt{N})$的复杂度判断。

又因为因数数量远小于$\sqrt{N}$，所以总复杂度可以承受。

这里作者比较懒，又用了根号判素数，复杂度会变大，但仍然可以承受。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define re register
#define rep(i, a, b) for (re int i = a; i <= b; ++i)
#define srep(i, a, b, c) for (re int i = a; i <= b; c)
#define repd(i, a, b) for (re int i = a; i >= b; --i)
#define maxx(a, b) a = max(a, b);
#define minn(a, b) a = min(a, b);
#define LL long long
#define INF (1 << 30)

inline LL read() {
    LL w = 0, f = 1; char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f, c = getchar();
    while (isdigit(c)) w = (w << 3) + (w << 1) + (c ^ '0'), c = getchar();
    return w * f;
}

const int maxn = 1e5 + 5;

bool prime(LL x) {
    if (x <= 1) return false;
    rep(i, 2, sqrt(x))
        if (!(x % i)) return false;
    return true;
}

LL phi(LL x) {
    LL res = x;
    rep(i, 1, sqrt(x))
        if (!(x % i)) {
            if (prime(i)) res = res * (i-1) / i;
            if (i*i != x && prime(x/i)) res = res * (x/i-1) / (x/i);
        }
    return res;
}

LL n, ans = 0;

int main() {
    n = read();
    rep(i, 1, sqrt(n))
        if (!(n % i)) {
            ans += n / i * phi(i);
            if (i * i != n) ans += i * phi(n / i);
        }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}