斐波那契数列两种算法的时间复杂度
这是2018王道数据结构考研复习指导的第一章思维拓展的题目。
关于斐波那契数列的简介：
斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
具体题目：
求解斐波那契数列的F(n)有两种常用算法：递归算法和非递归算法。试分析两种算法的时间复杂度。
1.递归算法
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 long Fibonacci(int n) { 5 if (n == 0) 6 return 0; 7 else if (n == 1) 8 return 1; 9 else 10 return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2); 11 } 12 13 int main() { 14 cout << "Enter an integer number:" << endl; 15 int N; 16 cin >> N; 17 cout << Fibonacci(N) << endl; 18 system("pause"); 19 return 0; 20 }
时间复杂度分析：
求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的结果，从而得到F(n)要计算很多重复的值，在时间上造成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增长，时间的复杂度为O(2^n)，即2的n次方
2.非递归算法
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 long Fibonacci(int n) { 5 if (n <= 2) 6 return 1; 7 else { 8 long num1 = 1; 9 long num2 = 1; 10 for (int i = 2;i < n - 1;i++) { 11 num2 = num1 + num2; 12 num1 = num2 - num1; 13 } 14 return num1 + num2; 15 } 16 } 17 18 int main() { 19 cout << "Enter an integer number:" << endl; 20 int N; 21 cin >> N; 22 cout << Fibonacci(N) << endl; 23 system("pause"); 24 return 0; 25 }
时间复杂度分析：
从n(>2)开始计算，用F(n-1)和F(n-2)两个数相加求出结果，这样就避免了大量的重复计算，它的效率比递归算法快得多，算法的时间复杂度与n成正比，即算法的时间复杂度为O(n).
参考博客：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html
