线段树题单

Problem 1

P4588 [TJOI2018]数学计算（没区间没数列没树但是要用线段树...）

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维护线段树，支持区间求积，单点修改即可。水题不讲。

Code

Problem 2

P4145 上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

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发现一个$<10^{12}$的数开6次根一定是1，然后无论开多少次根都不变了。可以维护一个最大值的线段树，如果区间内全是1就不管，否则暴力遍历开方。（在最大值线段树上找非1数是不行的，最坏$n\log^2 n$）

然后一个个直接更新不需要lazytag，最坏$O(n\log n)$，但是完全是$O(n\log n)$的操作最多出现6次，可以通过。

水蓝水蓝

Code

Problem 3

P2087 GTY的人类基因组计划2

请不要使用$n^2logn$的暴力，这会让这道下位紫题变成思维绿。

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Part 1

很显然，我们需要快速地查询两个组合是否相等，还需要自由地在组合间移动人。

我们可以使用hash. 给每个人一个随机生成的tag，而组合的hash值就是所有成员的tag异或起来。增加/减少成员时，把组合的hash值异或上移动了的成员的tag即可。

我们把已经做过实验的组合的hash扔到set里，查询有没有做过实验时直接s.find(hash)==s.end()?true:false。

Part 2

做一个资瓷单点修改，区间ban（被ban的房间人数变为0），单点复原，区间求和的线段树。

只有一个bool型的lazytag，表示当前区间有没有被全ban.

区间求和计算方法和普通的不一样，即使当前区间完全被查询区间覆盖，如果没有全ban，也要往深层继续查询。

单点修改正常修改，但是修改以后被ban的情况可能会发生改变，新写一个update函数，一路从根节点pushdown下去，最后改一下单点（叶子结点）的lazytag即可。

被ban的区间内的房间的hash并不需要立刻存入set内，在pushdown到叶子结点的时候存就可以了。原因自己想。（hint：所有成员都是唯一的）

Part 3

一些废话：

1. 随机函数最好自己写，不难。

2. 成员换房间的时候先更新人数，再update两个房间的lazytag（这时先不改那两个房间的实际hash值），然后最后再改hash值。原因自己想。（hint：pushdown会存hash 这已经不是hint而是最终答案了（ ）

3. 成员可能会“从原来的房间到原来的房间”，就是完全没动。这种情况一定要特判然后忽略，不然hash会出大问题。

Code

Problem 4

P2572 [SCOI2010] 序列操作（线段树操作大杂烩了属于是）

题目相当于要维护一个01线段树，支持区间推平，区间取反，区间求和，区间最长连续1.

我们一个一个来看。

维护数据

区间推平

维护两个lazytag，$ass0$和$ass1$，分别表示把当前区间推平成$0/1$。

区间取反

再维护一个lazytag $rev$，表示取反当前区间。

区间求和

维护一个数据$sum1$，表示当前区间$1$的个数（等价于区间和）。

区间最长连续1

和GSS3相似，维护三个东西：区间左边最长连续1，区间右边最长连续1，区间最长连续1. 分别用$left1,right1,cont1$表示。

Extra

在实际情况中，还要维护区间左边最长连续0，区间右边最长连续0，区间最长连续0. 分别用$left0,right0,cont0$表示。具体作用后面会说。

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所以我们的线段树有以下的东西：

结构：$l,r,lc,rc.$（区间和子树，线段树必需）

lazytag：$rev,ass0,ass1.$

数据：$sum1,left0,right0,left1,right1,cont0,cont1.$

数据间影响

lazytag之间

lazytag之间的优先级不像线段树2一样，比较好维护，所以可以让每一个节点保证同时只有一个lazytag。

把“从祖先push_down下来的lazytag”叫做下传标记，“原有的lazytag”叫做原有标记。

下传标记是$ass0$时，清空所有原有标记再下传$ass0$（清空不是指进一步下传标记而是直接覆盖掉）。显然，不管前面积压了多少操作，推平以后都全是$0$，所以前面积压的lazytag已经无意义.

下传标记是$ass1$时同理，清空所有原有标记再下传$ass1$.

下传标记是$rev$时，如果原有$ass0/ass1$,那么直接把$ass0$变成$ass1$，或把$ass1$变成$ass0$即可（相当于交换两个标记）。这时下传下来的rev直接清空。

如果没有$ass0/ass1$，就直接把原有$rev$异或一下。（反转再反转相当于没动，所以是异或而不是直接改成true.）

lazytag和数据之间

消除当前点的lazytag（也就是push_down）时，各数据也需要相应变化。

设$len$位区间长度。

消除$ass0$时，$sum1$清零，$left0,right0,cont0$改成$len$，$left1,right1,cont1$清零。显然。

消除$ass1$时，$sum1$改成$len$，$left0,right0,cont0$清零，$left1,right1,cont1$改成$len$。

消除$rev$时，$sum1$变成$len-sum1$（01互换）, $left0,left1,\quad right0,right1,\quad cont0,cont1$互换。（这也是为什么需要额外计算$left0,right0,cont0$），否则反转的时候没法维护了。

数据的计算

各数据从下往上更新的方法。

$sum1$：两儿子$sum1$的和。

$left0$：如果左儿子区间全是0，那么答案就是左右儿子$left0$的和；否则仅为左儿子的$left0$的值。

$left1$：同理。

$right0$：如果右儿子区间全是0，那么答案就是左右儿子$left0$的和；否则仅为右儿子的$left0$的值。

$right1$：同理。

$cont0$：左右儿子的$cont0$，左儿子的$right0$+右儿子的$left0$这三个值取max。

$cont1$：同理。

Extra

在区间连续1查询中，方式和计算cont1相似而不同。需要考虑有可能当前区间内的连续1并不完全在查询的区间内，需要分别算出左右端点进行处理。

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经过了以上繁琐的操作，我们就容易得到下面的代码了。

Code

能够完全理解并写出来这道题（并且debug完）证明线段树的各种操作基本上掌握的很透彻了。

p.s. 这题debug真的很搞人心态。

---------------------------------这是一片分界线---------------------------------

Problem 5

P3384 【模板】重链剖分/树链剖分（树剖也用了线段树...好像没毛病哈

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看情况讲不讲罢。

Code