冲刺CSP联训模拟2

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A. 挤压

考虑把一个数写成二进制，不妨记为 $ \sum s_i \times 2^i,s=0或1 $ ，设其概率为 $ p_k $ ，则期望值：

\[p_k \times (\sum_{ i=0 }^{ 29 } s_i)^2 = p_k \times \sum_{i=0}^{29} \sum _{j=0}^{29} s^i \times s^j \times 2^{i+j} \]

设 $ dp[i][j] $ 为异或后i，j位均为1的概率，方程不难推。

避坑：不要尝试计算每一位异或后是1的概率，因为某些位数会有冲突的概率。

B. 工地难题

发现对于每个 $ k $ ，都需要单独考虑，这样复杂度已经达到 $ O(n) $ ，这个时候跑DP似乎只能度过相对失败的一生。以下我们来推数学式子。

一个简单的想法是，先计算最长连续段不超过 $ k $ ，再差分。但是这样还是不好做，发现如果没有 $ k $ 的限制，有 $ n-m $ 个0把 $ m $ 个1分开，相当于 $ \sum _{i=1}^{n-m+1} x_i = m (x_i \ge 0) $ 方案数为 $ \binom{n}{n-m} $ ，减去最长段超过 $ k $ 的就是答案。假设有一个段超过 $ k $ ，那么长度至少 $ k+1 $ ，其他1还是可以随意分布，这个最长段的位置有 $ n-m+1 $ 个，方案数为 $ (n-m+1) \times \binom{n-(k+1)}{n-m} $ 。

由于这有重复的情况在内，即至少有一个段超过 $ k $ 包含至少有两个段超过 $ k $ ，容斥即可。注意到如果有超过 $ \left \lfloor \frac{m}{k+1} \right \rfloor $ 个段超过 $ k $ ，方案数一定为0。因此复杂度是调和级数的， $ O(n\log n) $ 。

C. 星空遗迹

$ O(NQ) $ 的做法比较好想，就是用一个栈把无意义的元素弹掉。

定义

\[f(n) = \begin{cases} f(n-1)+1 , & if (s[n]<s[n-1]) \\ f(n-1) , & if (s[n]=s[n-1]) \\ f(n-1)-1, & if (s[n]>s[n-1]) \end{cases} \]

发现一段字符串的答案为 $ s[n] $ ，当且仅当 $ f(n) $ 是这一段最后一个非正数。线段树维护前缀和最大值，区间修改，区间查询。

想法

这一场唐完了，T1每一位分开考虑，甚至用一个折半搜索，调试，手模，暴力都不能过样例，2.5h之后发现问题（上文说过了），然后开始思考人生。写了T1指数级暴力，还有1h开T2，因为想DP度过相对失败的一生，复杂度假了2次，果断改指数级暴力，于是前两题喜提 $ 40pts $ ，T3 $ O(n^2) $ 暴力显然，获得 $ 60pts $ ，T4看起来是难题，也没想暴力，回到T1思考人生（除了T3都失败了）。