[ABC310F]Make 10 Again

[ABC310F]Make 10 Again

题意

给定 $N$ 个骰子，每个骰子会随机的出现数字 $1$ 到 $A_i$ ， 求能够从 $N$ 个骰子中选若干个， 使他们的点数之和为 $10$ 的概率。

$N⩽100$

Solution

第一眼思路为设计状态 $dp(i,j)$ 为前 $i$ 个骰子，点数之和为 $j$ 的概率。

稍微加以思考，会发现这个状态非常难以处理，因为点数和为 $j$ 的局面非常复杂，并且考虑到是先随机后选，该思路极易出现重复计算的情况，并且无法处理不选某个骰子的情况，考虑使用状压更好的表示出当前局面。

记 $S$ 为当前可以表示出的数字的集合， 设计状态 $dp(i,S)$ 为前 $i$ 个骰子可以表示出状态 $S$

设计出状态转移方程，

对于骰子的点数 $j\in [1,A_i]$ 记 $T=\{x+j,x\in S\}$，

$$dp(i,T)=\sum dp(i-1,S)·\frac{1}{A_i}$$

当$A_i>10$时， 则另有

$$dp(i,T)=\sum dp(i-1,S)·\frac{1}{A_i}+dp(i,T)·\frac{A_i-10}{A_i}$$

最后统计所有状态中含有数字 $10$ 的即可。

Code

点击查看代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 150;
const int mod = 998244353;

inline int read() {
	register int w = 0, f = 1;
	register char c = getchar();
	while (c > '9' || c < '0') {
		if (c == '-')  f = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		w = w * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return w * f;
}

int n;
int a[N];

int f[N][5050];

inline int qpow(register int a, register int b) {
	register int base = 1;
	while (b) {
		if (b & 1)  base = 1ll * base * a % mod;
		a = 1ll * a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return base;
}

int main() {
	n = read();
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)  a[i] = read();
	f[0][1] = 1;
	register int base = (1 << 11) - 1;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (register int j = 1; j <= min(10, a[i]); ++j)
			for (register int S = 0; S < (1 << 11); S++) {
				int st = (S | (S << j)) & base;
				f[i][st] = (f[i][st] + 1ll * f[i - 1][S] * qpow(a[i], mod - 2) % mod) % mod;
			}
		if (a[i] > 10) {
			for (register int S = 0; S < (1 << 11); S++) 
				f[i][S] = (f[i][S] + 1ll * f[i - 1][S] * (a[i] - 10) % mod * qpow(a[i], mod - 2) % mod) % mod;
		}
	}
	register int ans = 0;
	for (register int S = 0; S < (1 << 10); S++)
		ans = (ans + f[n][S + (1 << 10)]) % mod;
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}