POJ2311 Cutting Game

题目来源：POJ2311 Cutting Game

题意

给定一张 $N\ast M$ 的矩形网格纸，两名玩家轮流行动。在每一次行动中，可以任选一张矩形网格纸，沿着某一行或者某一列的格线，把它剪成两部分。首先剪出 $1\ast 1$ 的玩家获胜。两名玩家都采取最优策略行动，求先手是否必胜。

$$1⩽N,M⩽200$$

Solution

可以任选一张矩形网格纸，显然是一个独立的有向图游戏。

考虑SG函数的构造方式，需要找出一个必败的局面作为有向图有向图的起点。

因为剪出 $1\ast 1$ 的获胜，那么显然根据最优策略原则，不会剪出 $1\ast X$ 的部分，那么必败局面为 $2\ast 2,2\ast 3,3\ast 3$ 。

对于一张独立的网格纸，其SG函数是固定的，可以通过记忆化来快速求解。

考虑如何计算 $SG(N,M)$， 根据SG函数的定义：

$$SG(N,M)=mex(\{SG(i,M)\text{xor}SG(N-i,M)\}\cup \{SG(N,i)\text{xor}SG(N,M-i)\})$$

需要注意，任何策略下不应该存在 $1\ast X$ 的决策，在枚举 $i$ 时需要避过该情况。

通过记忆化搜索便可以求出答案，考虑总体时间复杂度为 $O(n^3)$

Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 250;
typedef long long lld;

inline int read() {
	register int w = 0, f = 1;
	register char c = getchar();
	while (c > '9' || c < '0') {
		if (c == '-')  f = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		w = w * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return w * f;
}

int n, m;

int sg[N][N];

inline int SG(register int x, register int y) {
	if (sg[x][y] != -1)  return sg[x][y];
	register bool f[N];
	memset(f, 0, sizeof (f));
	for (int i = 2; i <= x - i; ++i)  f[SG(i, y) ^ SG(x - i, y)] = 1;
	for (int i = 2; i <= y - i; ++i)  f[SG(x, i) ^ SG(x, y - i)] = 1;
	register int t = 0;
	while (f[t])  t++;
	return sg[x][y] = t;
}

int main() {
	memset(sg, -1, sizeof (sg));
	sg[2][2] = sg[2][3] = sg[3][2] = 0;
	while (~scanf("%d%d", &n, &m))  puts(SG(n, m) ? "WIN" : "LOSE");
	return 0;
}