拓展中国剩余定理（exCRT）

Warning

本笔记没有处理无解的情况，需要注意的是当判断无解时， $a_2-a_1$ 需要对 $m_2$ 取余，来保证最终累加答案的非负性。

虽然在必定有解的情况下可能也会出现这个问题，但是洛谷的模板题数据未能体现，导致模板错误

下面的模板已经订正

update 2023-07-18

算法分析

由于exCRT完美的平替了CRT的全部功能，故不再详细复习CRT的相关内容.

考虑如下同余方程组，

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\end{array}$$

展开得，

$$a_1+k_1\times m_1=a_2+k_2\times m_2$$

$$\Rightarrow k_1\times m_1-k_2\times m_2=a_2-a_1$$

该式子左侧类似裴蜀定理， 则存在 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 满足 ${\lambda }_1\times m_1+{\lambda }_2\times m_2=gcd(m_1,m_2)$

当 $gcd(m_1,m_2)\nmid a_2-a_1$ 时， 方程组无解.

当 $gcd(m_1,m_2)\mid a_2-a_1$ 时， 存在 $k_1,k_2$ 满足 $k_1\times m_1-k_2\times m_2=a_2-a_1$.

则特解 $x^{\ast }=\frac{a_2-a_1}{gcd(m_1,m_2)}\times {\lambda }_1\times m_1$， 根据CRT的相关内容，得到通解

$$x=\frac{a_2-a_1}{gcd(m_1,m_2)}{\lambda }_1{m}_1+k_1\cdot lcm(m_1,m_2)$$

考虑由多个同余方程组成的方程组，上面通解可表达成

$$x\equiv \frac{a_2-a_1}{gcd(m_1,m_2)}{\lambda }_1{m}_1(\mathrm{mod}lcm(m_1,m_2))$$

由此，以此从方程组中选出两个同余方程进行合并，显然不失一般性。

Code

点击查看代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 50;
typedef long long lld;

inline int read() {
	register int w = 0, f = 1;
	register char c = getchar();
	while (c > '9' || c < '0') {
		if (c == '-')  f = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		w = w * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return w * f;
}

int n;
lld a1, a2, m1, m2;

inline lld gcd(register lld a, register lld b) {
	return (!b ? a : gcd(b, a % b));
}

inline lld mul(register lld a, register lld b, register lld p) {
	lld ans = 0;
	while (b) {
		if (b & 1)  ans = (ans + a) % p;
		a = (a + a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline lld exgcd(register lld a, register lld b, lld &x, lld &y) {
	if (!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	register lld g = exgcd(b, a % b, x, y);
	register lld tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - a / b * y;
	return g;
}

int main(){
	n = read();
	scanf("%lld%lld", &m1, &a1);
	for (register int i = 2; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld%lld", &m2, &a2);
		register lld x, y;
		register lld g = exgcd(m1, m2, x, y);
		register lld res = ((a2 - a1) % m2 + m2) % m2;
		if (res % g) {
			printf("No Solution\n");
			return 0;
		}
		register lld tmp = m1 / g * m2;
		a1 = (a1 + mul(mul(res / g, x, tmp), m1, tmp) + tmp) % tmp;
		m1 = tmp;
	}
	printf("%lld\n", a1);
	return 0;
}