【图论】割点、桥、双连通
连通分量
个数可以通过一次BFS或者DFS得到
割点和桥
可以枚举删除每一个点或者每一条边，判断连通分量个数是否增加
更好的方法
该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。
一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
(1) u为树根，且u有多于一个子树。
(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。
一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)<Low(v)。
void dfs(int u,int fa)
{
int child=0;
pre[u]=low[u]=++tim;
for(int e=fst[u];e!=-1;e=nxt[e])
{
int v=s[e].y;
if(!pre[v])
{
child++;
dfs(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(low[v]>=pre[u])cut[u]++;
if(low[v]>pre[u])bridge[e]=1;
}
else
if(pre[v]<pre[u] && v!=fa) //v!=fa
low[u]=min(low[u],pre[v]);
}
if(fa<0&&child==1)cut[u]=0;
}
需要注意的是：
1.如果i是root，那么去掉i后，连通分量个数增加cut[i]-1个。如果i不是root，那么连通分量增加cut[i]个
2.无向图 bridge[e]=1 bridge[e+1]同样应标注为1(bridge[e-1])
双连通
双连通分点双联通和边双联通
对于一个连通图，若任意两点至少存在两条“点不重复”的路径，则此连通图是点-双连通的，意味着任意的两条边都是在同一个简单环上，即内部无割顶。点-双连通的极大子图叫做双连通分量或块。定理：不同双联通分量最多只有一个公共点，且它一定是割顶，任意割顶都是至少两个不同双连通分量的公共点。
对于一个连通图，若任意两点至少存在两条“边不重复”的路径，则此连通图是边-双连通的，意味着只需要每条边都至少在一个简单环中，即所有边都不是桥。边-双连通的极大子图叫做边-双连通分量，除了桥不属于任何边-双连通分量之外，其他每条边恰好属于一个边-双连通分量，而且把所有桥删除之后，每个连通分量对应原图中的一个边-双连通分量。
对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。
对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。
有重边的 边-双连通分量 应尤其注意，因为重边也算不同的边。解决方案是用边判断，而不是利用v!=fa判断能否由pre[v]更新low[u]
void dfs(int u,int fa)
{
tim++;
low[u]=pre[u]=tim;
for(int e=fst[u];e!=-1;e=nxt[e])
{
int w=e;if (e%2)w++;else w--;
int v=s[e].y;
if(!pre[v])
{
dfs(v,e);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if (low[v]>pre[u])bridge[e]=bridge[w]=1;
}
else
//if(pre[v]<pre[u] && v != fa)
if (pre[v]<pre[u] && (e!=fa && w!=fa))
low[u]=min(low[u],pre[v]);
}
}
void dfs(int u)
{
tim++;
pre[u]=low[u]=tim;
for(int e=fst[u];e!=-1;e=nxt[e])
{
int w=e;if(w%2)w++;else w--;
int v=s[e].y;
if(!pre[v])
{
flag[e]=flag[w]=1;
dfs(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(low[v]>pre[u])cnt[e]=cnt[w]=1;
}
else
if(pre[v]<pre[u]&&!flag[e]) //判断边而不是判断点
{
flag[e]=flag[w]=1;
low[u]=min(low[u],pre[v]);
}
}
}
构造双连通图
一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。
统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int m,tn,n;
struct path{int x,y;}s[20001];
int fst[20001],nxt[20001];
bool bridge[20001];
int pre[5001],low[5001];
int tim,part,x,y;
int hash[5001],out[5001];
void dfs(int u,int fa)
{
tim++;
low[u]=pre[u]=tim;
for(int e=fst[u];e!=-1;e=nxt[e])
{
int w=e;if (e%2)w++;else w--;
int v=s[e].y;
if(!pre[v])
{
dfs(v,e);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if (low[v]>pre[u])bridge[e]=bridge[w]=1;
}
else
//if(pre[v]<pre[u] && v != fa)
if (pre[v]<pre[u] && (e!=fa && w!=fa))
low[u]=min(low[u],pre[v]);
}
}
void makeside(int x,int y)
{
n++;s[n].x=x;s[n].y=y;
nxt[n]=fst[x];fst[x]=n;
}
void color(int i)
{
hash[i]=part;
for(int e=fst[i];e!=-1;e=nxt[e])
if (!bridge[e]&&!hash[s[e].y])
color(s[e].y);
}
void print()
{
int z=0;
for(int e=1;e<=n;e++)
if(bridge[e])
{
out[hash[s[e].x]]++;
out[hash[s[e].y]]++;
}
for(int i=1;i<=part;i++)
if(out[i]==2)z++;
cout<<(z+1)/2<<endl;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&m,&tn)==2)
{
memset(fst,-1,sizeof(fst));
memset(nxt,-1,sizeof(nxt));
memset(bridge,0,sizeof(bridge));
memset(hash,0,sizeof(hash));
memset(out,0,sizeof(out));
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(low,0,sizeof(low));
n=part=tim=0;
for(int i=1;i<=tn;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
makeside(x,y);
makeside(y,x);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!pre[i])
dfs(i,-1);
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!hash[i])
{
part++;
color(i);
}
print();
}
return 0;
}
见题目：
HOJ
1007 SPF
1098 NetWork
1789 Electricity
2360 Redundant Paths
POJ
3117 Redundant Paths
3352 Road Construction
参考：
https://www.byvoid.com/blog/biconnect
http://blog.csdn.net/z635457712a/article/details/8229113
http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6762370
