数学归纳法

数学归纳法

数学归纳法是基于一个 Base，利用 Induction hypothesis，推出一个命题 \(P\) 对于特定数集（通常是自然数集，或者正整数集）成立，大致过程如下：

Base：命题对于 \(n=1\) 时成立；
Induction hypothesis：若 \(n=k\) 时成立，可推出 \(n=k+1\) 时成立；
Conclusion：命题对于全体正整数成立。

例题

1. \(n\) 为自然数，比较 \(n^{n+1}\) 和 \((n+1)^n\) 哪一个大？

\(1^2<2^1\)，\(2^3<3^2\)，\(3^4>4^3\)，对 \(n\geq 3\) 进行归纳：
Base. 当 \(n=3\) 时，\(3^4>4^3\)，显然。
I.H. 当 \(n>3\) 时，若对于 \(n-1\) 成立，则 \((n-1)^n>n^{n-1}\)，即 \(\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}>1\)，证 \(n^{n+1}>(n+1)^n\)，作商比较 \(\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}\) 与 \(\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\)，再做差：\(\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}-\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}=\frac{(n-1)^n(n+1)^n-n^{2n}}{n^{n-1}(n+1)^n}<0\)，所以 \(\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}<\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\)，又因为 \(\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}>1\)，所以 \(n^{n+1}>(n+1)^n\)。

2. \(a_1=1\)，\(a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}}\)，求通项公式。

Base. 显然 \(a_1={1\over1}\)。
I.H. 设 \(a_i={p\over q}\)，则 \(a_{i+1}=\frac{p\over q}{1+{p\over q}}=\frac{p\over q}{{q+p}\over q}=\frac{p}{q+p}\)，在整个过程中 \(p=1\) 不变，\(q\) 每次增加 \(p\)。
故通项公式为 \(a_i={1\over i}\)。

3. 已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_0=2\)，\(a_1=10\)，\(a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n\)，求证：\(a_n\) 可写为两个整数的平方和。

\(a_0=1^2+1^2\)，\(a_1=1^2+3^2\)。
若 \(a_i=f(i)^2+f(i-1)^2\)，找规律可知 \(f(i)=2f(i-1)+f(i-2)\)，\(a_{i+1}=f(i+1)^2+f(i)^2\)。

4. 设 \(n>5\) 每个正方形都可以分为 \(n\) 个正方形。

Base. 对于 \(n\in[6,8]\) 可以分割（如上图）。
I.H. 若 \(n-3\) 可以分割，则任选其中一个小正方形分为四个即可，所以 \(n\) 时也可以分割。

5. 证明 \(n\geq3\) 时，\(2^n\) 可以表示为 \(7x^2+y^2\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 都是奇数。

\(2^3=7\times 1^2+1^2\)，
\(2^4=7\times 1^2+3^2\)，
\(2^5=7\times 1^2+5^2\)，
\(2^6=7\times 3^2+1^2\)，
\(2^7=7\times 1^2+11^2\)，
\(2^8=7\times 5^2+9^2\)，

对于 \(n>8\)，\(2^n-2^{n-3}=2^3\times 2^{n-3}-2^{n-2}=7\times 2^{n-3}\)

6. 证明在 \(2^n\times 2^n\) 个单位小方格组成的正方形棋盘上挖去任意一个方格后，总可以由三个单位方格构成的 L 型块无重叠的覆盖。

Base. 当 \(n=0\) 时，显然。
I.H. 当 \(n>0\) 时，若 \(n-1\) 时成立，将整个正方形划分成 \(2^{n-1}\times 2^{n-1}\) 的四个正方形，假定挖去的格子在左上角的子正方形中，否则可以旋转，则左上角的子正方形一定可以分割（规模为 \(2^{n-1}\) 的缺角正方形），在中心处做 L 型，挖去这三个格子后，可以使得上下的三个子正方形都变为规模为 \(2^{n-1}\) 的缺角正方形，也可以用 L 型填充。

7. 在 \(n\times n\) 的矩阵中，有 \(n-1\) 个元素为 \(0\)，其余元素不为 \(0\)，证明总可能通过行与行、列于列的互换，将 \(0\) 全部移动到主对角线一下。

Base. 当 \(n=1\) 时，显然。
I.H. 当 \(n>1\) 时，若 \(n-1\) 时成立，新加入 \(1\) 个为 \(0\) 的元素，并且加入一行一列，则若这个元素位置为 \((i,j)\)，若 \(i>j\)，一定满足，下设 \(i\leq j\)：
对于前 \(n-1\) 行 \(n-1\) 列一定成立，且没有超过 \(n-2\) 个 \(0\)，如果添加一个零在前 \(n-1\) 行 \(n-1\) 列，将最后一行交换到最上面，其他行依次下移即可；
否则，前 \(n-1\) 行一定有一行均不为 \(0\)，如果 \(0\) 出现在了第 \(n\) 列第 \(i\) 行（\(i<n\)），将第 \(n\) 列移动到第 \(i\) 列，然后第 \(i\) 列移动到第 \(i+1\) 列，以此类推，最后将第 \(n\) 行移动到第 \(1\) 行，其他行依次下移即可；
如果添加的 \(0\) 在第 \(n\) 行第 \(n\) 列，交换前 \(n-1\) 行中的非零行与第 \(n\) 行即可。

8. 在 \(2n-1\) 的星球上各建立一个观测站，每个观测站观测与它最近的其他星球，如果这些星球间距离不相等，证明至少有一个星球没有观测站对它进行观测。

Base. 对于 \(n=1\) 时，显然。
I.H. 若 \(n-1\) 时成立，记 \(l(G)\) 为距离星球 \(G\) 最近的星球与该星球的距离，原本的 \(2n-3\) 各星球构成的集合为 \(T\)，则加入两个星球，记为 \(S_{2n-2}\) 和 \(S_{2n-1}\)，满足 \(S_{2n-1}>S_{2n-2}>\forall S_{H\in T}\)，否则可以更换加入顺序，则对于 \(S_{2n-1}\)，一定没有星球观测。

9. 证明任意正真分数 \(m\over n\) 可以表示为不同的自然数的倒数之和。

显然，对任意 \(0\over n\)（\(n\in N^+\)），显然成立。
若 \(m-1\over n\) 成立，对于 \(\frac{m}{n}=\frac{m-1}{n}+\frac{1}{n}\)

10. 设 \(A={a_1,a_2,\dots,a_n}\)，\(a_1<a_2<\dots<a_n\)，\(\phi\) 是 \(A\rightarrow A\) 的一一对应，满足 \(a_1+\phi(a_1)<a_2+\phi(a_2)<\dots<a_n+\phi(a_n)\)，证明 \(\phi(a_i)=a_i\)（\(i=1,2,\dots,n\)）。

当 \(n=1\) 时，显然。
对 \(n>1\)，若 \(n-1\) 时成立，则如果 \(\phi(a_i)=a_{f(i)}\)，数列 \(b={f(i)}\)，则若 \(a_i+a_{b_i}<a_j+a_{b_j}\)，必定有 \(a_i-a_j<a_{b_j}-a_{b_i}\)，对于所有的 \(i<j\) 成立，