多项式（2）

多项式（1）

因式分解

不可约多项式

定义：设 \(p(x)\in\mathbb F[x]\)，\(\deg p(x)\geq 1\)。若 \(\forall f(x),g(x)\in\mathbb F[x], f(x)g(x)\neq p(x)\)，则称 \(p(x)\) 为不可约多项式；否则称为可约多项式。

从因式的角度来看，不可约多项式就像是整数中的素数，它的因式只有非零常数或自身的非零常数倍。
不过，多项式是否可约与其所在的数域是密切相关的，众所周知，\(x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\)，不过有理数域 \(\mathbb Q\) 中不存在 \(\sqrt2\)，所以它在有理数域中是不可约的，但是在实数域中就可约了。
同样的，\(x^2+1=(x+i)(x-i)\)，在复数域 \(\mathbb C\) 和 \(\R\) 中的可约性也是不同的。

性质：

1. 任意一次多项式都是不可约的；
2. 设 \(p(x),f(x)\in \mathbb F[x]\)，\(p(x)\) 不可约，则 \((p(x),f(x))=1\) 或 \(p(x)|f(x)\)；
3. 设 \(p(x),f_1(x),f_2(x)\dots,f_s(x)\in \mathbb F[x]\)，\(p(x)\) 不可约，且 \(p(x)|\prod\limits^s_{x=1}f_i(x)\)，则 \(\exist f_i(x)\)，满足 \(p(x)|f_i(x)\)。

因式分解

多项式的因式分解，就是将一个多项式分解成若干个不可约多项式的乘积的形式。

多项式标准分解：对于 \(f(x)\in\mathbb F[x]\)，其标准分解形如 \(f(x)=cp_1(x)^{r_1}p_2(x)^{r_2}\dots p_s(x)^{r_s}\)，其中要求 \(p_i(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(p_i(x)\)（\(i=1,2,\dots s\)）为首一不可约多项式，\(c\) 为常数，且 \(c\in\mathbb F\)。

性质：任何多项式的标准因式分解存在且唯一。

与最大公因式：对于多项式 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且

\[f(x)=a{p_1}(x)^{r_1}{p_2}(x)^{r_2}\dots {p_s}(x)^{r_s},\ r_i\geq 0 \]

\[g(x)=b{p_1}(x)^{t_1}{p_2}(x)^{t_2}\dots {p_s}(x)^{t_s},\ t_i\geq 0 \]

为 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的标准分解，则

\[(f(x),g(x))=\prod\limits^s_{i=1}p_i(x)^{\min(r_i,t_i)} \]

k 重因式：不可约多项式 \(p(x)\) 为 \(f(x)\) 的 \(k\) 重因式，如果 \(p(x)^k|f(x)\)，\(p(x)^{k+1}\nmid f(x)\)，记作 \(p(x)^k||f(x)\)，如果 \(k=1\)，则称 \(p(x)\) 为 \(f(x)\) 的单因式。

多项式的导数：

设 \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k\in\mathbb F[x]\)，称多项式 \(\sum\limits_{k=0}^nka_kx^{k-1}\) 为 \(f(x)\) 的导数，记为 \(f'(x)\) 或 \(\frac{\text d}{\text dx}f(x)\)。

\(k\) 阶导数使用归纳定义：记 \(f^{(k)}(x)=(f^{(k-1)})'(x)\)。

导数的性质：设 \(f(x),g(x),p(x)\in\mathbb F[x]\)：

1. 若 \(\deg f(x)\geq 1\)，\(\deg f'(x)=\deg f(x)-1\)；
2. \(f'(x)=0\iff f(x)=c\in\mathbb F\)；
3. \((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\)；
4. \(c\in\mathbb F\)，则 \((cf(x))'=cf'(x)\)；
5. \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)；
6. \((f(x)^m)'=mf(x)^{m-1}f'(x)\)；
7. 若 \(p(x)\) 不可约，则 \((p(x),p'(x))=1\)。

有关导数的定理：

1. 若不可约多项式 \(p(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个 \(k\)（\(\geq 1\)）重因式，则 \(p(x)\) 为 \(f'(x)\) 的 \(k-1\) 重因式；
2. 不可约多项式 \(p(x)\) 为 \(f(x)\) 的重因式当且仅当 \(p(x)|(f(x),f'(x))\)，从而，\(f(x)\) 无重因式，当且仅当 \((f(x),f'(x))=1\)；
3. 对于 \(f(x)\in\mathbb F[x]\)，其标准分解为 \(f(x)=cp_1(x)^{r_1}p_2(x)^{r_2}\dots p_s(x)^{r_s}\)，则：

\[(f(x),f'(x))=p_1(x)^{r_1-1}p_2(x)^{r_2-1}\dots p_s(x)^{r_s-1} \]

\[\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x)\dots p_s(x) \]

不可约多项式

因式与倍式

根据代余除法的定义，判断 \((x-a)\) 是否为 \(f(x)\) 的因式，利用代余除法：

\[f(x)=g(x)(x-a)+r(x) \]

自然满足 \(\deg r(x)<\deg(x-a)\)，所以 \(\deg r(x)=0\)，\(r(x)\) 为常数。

余式定理：多项式 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\)，判断 \((x-a)\) 是否为 \(f(x)\) 的因式，只需要判断 \(f(a)\) 是否等于 \(0\) 即可，类似于因式分解求方程组的解的过程。