中国剩余定理

Chinese Remainder Theorem（CRT），中文名又称孙子定理，是唯一以“Chinese”为关键词命名的数学定理，这是我们中华民族的骄傲！

线性同余方程组

CRT 主要解决线性同余方程组的问题，在数学著作《孙子算经》卷下，有一个叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

意思就是一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

这蕴涵着一个线性同余方程组：

\[\begin{cases} x\equiv 2\ (\bmod\ 3)\\ x\equiv 3\ (\bmod\ 5)\\ x\equiv 2\ (\bmod\ 7)\\ \end{cases}\]

其中 \(x\in\mathbb N^*\)。

我们可以拓广到一般的线性方程组，形式如下：

\[\begin{cases} x\equiv r_1\ (\bmod\ v_1)\\ x\equiv r_2\ (\bmod\ v_2)\\ \dots\ \dots\\ x\equiv r_m\ (\bmod\ v_m)\\ \end{cases}\]

其中 \(x\in\mathbb N^*\)。

解法

显然，这个线性同余方程组不具有唯一解，先考虑 \(r_1,r_2\dots,r_m\) 互素的情况，这也是一般的中国剩余定理。

众所周知，模运算具有不少良好的性质，我们用到如下几个：

1. 若 \(x\equiv a\ (\bmod\ c)\)，且 \(y\equiv b\ (\bmod\ c)\)，则 \(x+y\equiv a+b\ (\bmod\ c)\)，若 \(b=0\) 为特殊情况；
2. 若 \(x\equiv a\ (\bmod\ c)\)，且 \(y\equiv b\ (\bmod\ c)\)，则 \(xy\equiv ab\ (\bmod\ c)\)，当 \(a=0\) 或 \(b=0\) 时，可得 \(xy\equiv 0\ (\bmod\ c)\)。

那么，考虑先找到线性方程组的特解 \(x'\)，然后对于 \(x'\) 进行加加减减得到最终的通解，那么，我们可以让 \(x'=A_1+A_2+\dots+A_m\)，其中 \(A_i\) 满足如下性质：

1. \(\forall j\neq i\)，\(j\in[1,m]\)，\(v_j|A_i\)；
2. \(A_i\equiv r_i\ (\bmod\ v_i)\)。

显然，这很容易构造，我们令 \(F_i=\frac{\prod^m_{i=1}v_i}{v_i}\)。

然后易构造 \(x'=\sum_{i=1}^m{F_i}{(F_i\bmod v_i)^{-1}r_i}\) 即可，其中 \((F_i\bmod v_i)^{-1}\) 为模 \(v_i\) 意义下 \(F_i\) 的逆元。

详细的解释一下：

对于第 \(i\) 个线性同余方程 \(x\equiv r_i\ (\bmod\ v_i)\)，我们考虑 \(x'\) 的每一项对于 \(v_i\) 的余数：

对于 \(j\neq i\)，\({F_i}{(F_i\bmod v_i)^{-1}r_i}\bmod v_i=0\)，因为根据我们的构造，\(v_i|F_j\)，所以 \(v_i|{F_i}{(F_i\bmod v_i)^{-1}r_i}\)；
对于 \(i\)，\({F_j}{r_j}\equiv r_i\ (\bmod\ v_i)\)，因为显然，根据逆元的定义，\({F_i}(F_i\bmod v_i)^{-1}\equiv 1\ (\bmod\ v_i)\)，那么这样，\({F_i}{(F_i\bmod v_i)^{-1}r_i}\equiv r_i\times 1\ (\bmod\ v_i)\)，显然，与 \(r_i\) 同余。

那么，\(\sum_{i=1}^m{F_i}{(F_i\bmod v_i)^{-1}r_i}\equiv 0+0+\dots+r_i+\dots+0\ (\bmod\ v_i)\)，其中，第 \(i\) 项为 \(r_i\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define i128 __int128 
using namespace std;
const int N = 1e5+7;
ll v[N],r[N];
int phi[N];
ll qpow(ll a,ll b,ll mod) {
    if(b==0) return 1;
    if(b==1) return a;
    ll res=qpow(a,b/2,mod);
    res=res*res%mod;
    if(b&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
void init() {
    for(int i=1;i<N;++i) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<N;++i) {
        if(phi[i]!=i) continue;
        for(int j=i;j<N;j+=i)
            phi[j]=phi[j]*(i-1)/i;
    }
}
inline i128 inv(i128 a,i128 mod) {
    return qpow(a%mod,phi[mod]-1,mod);
}
signed main() {
    int n;
    i128 prod=1,res=0;
    init();
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>v[i]>>r[i],prod*=v[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        r[i]%=v[i];
        i128 cur=prod/v[i];
        i128 iv=inv(cur,v[i]);
        res+=iv*r[i]*cur;
        res%=prod;
    } cout<<(ll)(res)<<'\n';
    return 0;
}