多项式（1）

数域

定义与基本概念

数域的定义

设 \(\mathbb P\) 是由一些复数组成的集合，其中包括 \(0\) 与 \(1\)，如果 \(\mathbb P\) 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 \(0\)）仍是 \(\mathbb P\) 中的数（即对四则运算封闭），则称 \(\mathbb P\) 为一个数域。

举几个常见的例子：

正整数的全体：\(\N^*\)；
自然数的全体：\(\N\)；
整数的全体：\(\Z\)；
有理数的全体：\(\mathbb{Q}\)；
实数的全体：\(\R\)。

其中 \(\mathbb{Q},\R\) 均为数域，而 \(\N\)、\(\N^*\) 和 \(Z\) 不满足对四则运算封闭，所以不是数域。

还有复数域 \(\mathbb C\)，我们后文会有谈到。

特殊数域

古代希腊发生过第一次数学危机，人们发现边长为一的直角三角形的斜边不是整数，也不是有限小数！这就是著名的无限不循环小数 \(\sqrt2\)，古希腊人还发现了另一个无理数：正五边形的边与对角线之比为 \(\frac{\sqrt{5}-1}2\)，避开第一次数学危机不谈，考虑下面的事情：

为了表示带 \(\sqrt2\) 的数，于是定义形如 \(a+b\sqrt2\)（\(a,b\in\mathbb{Q}\)）的全体为 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\)。

集合 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) 对于四则运算封闭，即对于 \(\alpha,\beta\in\mathbb{Q}(\sqrt2)\)，有 \(\alpha\pm\beta,\alpha\times\beta,\frac\alpha\beta \in\mathbb{Q}(\sqrt2)\)。

对于 \(\sqrt2\)，\(\sqrt5\) 这种数可以用尺规作图得到，数轴上，这些点对应的实数被称为可构造实数。

复数域

对于 \(x^=-1\) 这个方程，它的解应为 \(\sqrt{-1}\)，我们类似 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) 构造新的数集 \(\R(\sqrt{-1})\)，数集内的数字形如 \(a+b\sqrt{-1}\)，这些书也可以进行四则运算，我们称这些数为复数，其中 \(a\) 为实部，\(b\) 为虚部，当 \(b=0\) 时为实数，我们将非实复数称为虚数，称 \(a=0\) 的虚数为纯虚数。
特别的，对于复数 \(z=a+b\sqrt{-1}\)，\(a-b\sqrt{-1}\) 称为其共轭复数，记作 \(\overline z=a-b\sqrt{-1}\)。

对于任意复数 \(z=a+b\sqrt{-1}\)，记有序实数对 \((a,b)\)，建立平面直角坐标系用坐标表示，点 \(P(a,b)\) 就对应复数 \(z\)，我们称 \(x\) 轴与 OP 的角度为辐角，其中大小属于 \((-\pi,\pi]\) 之间的角为辐角主值，OP 的长度 \(\sqrt{a^2+b^2}\) 为 \(z\) 的模，记作 \(|z|\)，易得 \(a=|z|\cos\theta\)，\(b=|z|\sin\theta\)，于是有

\[z=|z|(\cos\theta+\sqrt{-1}\sin\theta) \]

令 \(e^{\sqrt{-1}\theta}=\cos\theta+\sqrt{-1}\sin\theta\)，于是可记 \(z=|z|e^{\sqrt{-1}\theta}\)，利用三角函数公式可得：

\[e^{\sqrt{-1}\theta}e^{\sqrt{-1}\varphi}=e^{\sqrt{-1}(\theta+\varphi)} \]

若 \(z=|z|e^{\sqrt{-1}\theta}\)，\(w=|w|e^{\sqrt{-1}\varphi}\)，则 \(zw=|z||w|e^{\sqrt{-1}\theta}e^{\sqrt{-1}\varphi}\)，那么，复数的乘法就可以理解为线段的旋转和数乘，\(z\) 乘 \(w\) 的过程可以理解为将 \(z\) 旋转 \(\varphi\)，然后伸长到原来的 \(|w|\) 倍。

不过，复数不像实数一样具有大小关系。

---

一元多项式的基本概念与运算

一元多项式的基本概念

设 \(\mathbb F\) 为数域，\(x\) 是一个不定元，\(n\in\N^*\)，称形式表达式

\[a_0+{a_1}x+{a_2}{x^2}+\dots+{a_n}{x^n} \]

为 \(\mathbb F\) 上的一个（以 \(x\) 为不定元的）一元多项式，其中 \(a_i\in\mathbb F\) 只有有限个非零，且 \(a_n\neq 0\)，数域 \(\mathbb F\) 上所有以 \(x\) 为不定元的多项式的全体所成的集合记为 \(\mathbb{F}[x]\)。

各项全为 \(0\) 的多项式为零多项式，可记作 \(0\)；
\({a_i}{x^i}\) 称为\(i\) 次项，\(a_i\) 称为\(i\) 次项系数；
\({a_n}{x^n}\) 为首项，\(a_n\) 为首项系数；
\(n\) 为多项式次数，记作 \(\deg f(x)=n\)，约定 \(\deg f(0)=-\infty\)；
首项为 \(1\) 的多项式为首一多项式；
为了方便起见，定义 \(x^0=1\)。

多项式加法和乘法

对于 \(\mathbb F\) 上的多项式

\[f(x)=a_0+{a_1}x+{a_2}{x^2}+\dots,\ g(x)=b_0+{b_1}x+{b_2}{x^2}+\dots \]

定义 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 的和为

\[f(x)+g(x)=(a_0+b_0)+({a_1}+{b_1})x+({a_2}+{b_2}){x^2}+\dots \]

它们的积为

\[f(x)g(x)={c_0}+{c_1}x+{c_2}{x^2}+\dots \]

其中 \(c_k=\sum\limits_{i=0}^k {a_i}{b_{k-i}},\ k\in\N\)。

多项式加法运算性质：

1. 交换律：\(f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\)
2. 结合律：\((f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))\)
3. \(0+f(x)=f(x)\)
4. 设 \(f(x)=a_0+{a_1}x+{a_2}{x^2}+\dots+{a_n}{x^n}\)，则 \(-f(x)=(-a_0)+(-{a_1})x+(-{a_2}){x^2}+\dots+(-{a_n}){x^n}\)，满足 \(f(x)+(-f(x))=0\)，且 \(-(-f(x))=f(x)\)
5. \(\deg(f(x)+g(x))\leq \max(\deg(f(x),\deg(g(x)))\)

多项式乘法运算性质：

1. 交换律：\(f(x)g(x)=g(x)f(x)\)
2. 结合律：\((f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))\)
3. 分配律：\(f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)\)
4. \(\deg(f(x)g(x))=\deg f(x)+\deg g(x)\) 且 \(f(x)g(x)=0\iff f(x)=0\ \text{or}\ g(x)=0\)
5. 消去律：\(f(x)\neq 0\)，\(f(x)g(x)=f(x)h(x)\iff g(x)=h(x)\)

多项式代余除法

因式和整除 设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(g(x)\neq 0\)，若存在 \(q(x)\in\mathbb F[x]\)，使得 \(f(x)=g(x)q(x)\)，则称 \(f(x)\) 能被 \(g(x)\) 整除，记为 \(g(x)|f(x)\)，此时，\(g(x)\) 为 \(f(x)\) 的因式，\(f(x)\) 为 \(g(x)\) 的倍式，为了方便，记 \(q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)。

那么如果不能整除，我们就需要像整数一样，引入代余除法的概念。

代余除法 设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(g(x)\neq 0\)，若 \(q(x),r(x)\in\mathbb F[x]\) 满足

\[f(x)=g(x)q(x)+r(x),\ deg r(x)<deg g(x) \]

则称 \(q(x),r(x)\) 为 \(g(x)\) 除 \(f(x)\) 的商和余式，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 为被除式和除式。

• 设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(g(x)\neq 0\)，\(g(x)\) 除 \(f(x)\) 的商和余式存在且唯一。

取模运算：\(f1(x),f2(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(g(x)\neq 0\)，若 \(g(x)\) 除 \(f1(x)\) 和 \(g(x)\) 除 \(f2(x)\) 的余式相同，则称 \(f1(x)\) 和 \(f2(x)\) 模 \(g(x)\) 同余，记作 \(f1(x)\equiv f2(x)\ (\bmod\ g(x))\)。

模运算的性质

对任意 \(f(x),f1(x),f2(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(g(x)\neq 0\)，则同于满足：

1. 自反性：\(f(x)\equiv f(x)\ (\bmod\ g(x))\)
2. 对称性：若 \(f1(x)\equiv f2(x)\ (\bmod\ g(x))\)，则 \(f1(x)\equiv f2(x)\ (\bmod\ g(x))\)
3. 传递性：若 \(f(x)\equiv f1(x)\ (\bmod\ g(x))\)，且 \(f(x)\equiv f2(x)\ (\bmod\ g(x))\)，则 \(f1(x)\equiv f2(x)\ (\bmod\ g(x))\)

模运算与四则运算结合

1. 设 \(f_i(x),h_i(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，\(i=1,2\dots\)，且 \(g(x)\neq 0\)，若 \(f_i(x)\equiv h_i(x)\ (\bmod\ g(x))\)，则

\[f_i(x)+f_j(x)\equiv h_i(x)+h_j(x)\ (\bmod\ g(x)) \]

\[f_i(x)f_j(x)\equiv h_i(x)h_j(x)\ (\bmod\ g(x)) \]

2. 设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \(f(x)g(x)\neq 0\)，则 \(f(x)|g(x)\ \text{and}\ g(x)|f(x) \iff f(x)=a\cdot g(x), a\in\{x|x\in\mathbb F,x\neq 0\}\)
3. \(f_i(x),u_i(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，\(i=1,2\dots k\)，且 \(g(x)\neq 0\)，若 \(g(x)|f_i(x)\)，则
   \(g(x){\huge |}\sum^k_{i=1} u_i(x)f_i(x)\)
   其中，称 \(\sum^k_{i=1} u_i(x)f_i(x)\) 为 \(f_1(x),f_2(x),\dots f_k(x)\) 的一个组合。
4. 设 \(f(x),g(x),h(x)\in\mathbb F[x]\)，若 \(h(x)|g(x)\)，\(g(x)|f(x)\)，则 \(h(x)|f(x)\)

设 \(\mathbb F,\overline{\mathbb F}\) 为数域，且 \(\mathbb F\subset\overline{\mathbb F}\)，又设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\subset\overline{\mathbb F}[x]\)，且 \(g(x)\neq 0\)，则作为 \(\mathbb F[x]\subset\overline{\mathbb F}[x]\) 的多项式，\(g(x)\) 除 \(f(x)\) 的商和余式都是一样的，特别的在 \(\mathbb F\) 中 \(g(x)|f(x)\) 等价于在 \(\overline{\mathbb F}\) 中 \(g(x)|f(x)\)

---

公因式

公因式相关基本概念

设 \(d(x),f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\)，若 \(d(x)|f(x)\)，\(d(x)|g(x)\)，称 \(d(x)\) 为 \(f(x),g(x)\) 的一个公因式，进一步，称 \(d(x)\) 为 \(f(x),g(x)\) 的最大公因式，如果：

1. \(d(x)\) 为 \(f(x),g(x)\) 的首一公因式；
2. \(f(x),g(x)\) 的任一公因式 \(h(x)\)，都有 \(h(x)|d(x)\)。
   任何非零常数都是 \(f(x),g(x)\) 的公因式，称为平凡公因式，其他公因式为非平凡公因式。

引理：

1. \(f(x),g(x)\) 的最大公因式存在且唯一。
2. 设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\) 均非零，则 \((f(x),g(x))\) 存在且为 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的组合，即存在 \(u(x),g v(x)\in\mathbb F[x]\)，使得 \(u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))\)。

性质：设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\subset\overline{\mathbb F}[x]\)，则 \((f(x),g(x))\) 在 \(\mathbb F\) 和在 \(\overline{\mathbb F}\) 的最大公因式相等。

辗转相除法

设 \(f(x),g(x)\in\mathbb F[x]\) 均非零，且 \(\deg f(x)\geq\deg g(x)\)，显然：

\[(f(x),g(x))=\begin{cases} \frac{1}{a_{\deg g(x)}}g(x),\ g(x)|f(x)\\ f(x)\bmod g(x),\ \text{otherwise} \end{cases}\]

那么，我们就可以用这种方法求得最大公因式，其中 \(f(x)\bmod g(x)\) 表示 \(f(x)\) 对 \(g(x)\) 取余，\(\frac{1}{a_{\deg g(x)}}\) 表示除以 \(g(x)\) 的首项系数，意在将其化为首一多项式。

多项式互素

称 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 互素，当且仅当 \((f(x),g(x))=1\)。

性质：

1. 称 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 互素，当且仅当存在 \(u(x),v(x)\in\mathbb F[x]\)，使得 \(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)。
2. 设 \(f(x),g(x),h(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \((f(x),g(x))=1\)，\(f(x)|h(x)g(x)\iff f(x)|h(x)\)。
3. 设 \(f(x),g(x),h(x)\in\mathbb F[x]\)，且 \((f(x),g(x))=1\)，若 \(f(x)|h(x)\) 且 \(g(x)|h(x)\)，则 \(f(x)g(x)|h(x)\)。

多项式中国剩余定理 设 \(f_1(x),f_2(x),\dots f_m(x)\in\mathbb F[x]\) 两两互素，\(r_1(x),r_2(x),\dots r_m(x)\in\mathbb F[x]\)，则存在 \(f(x)\in\mathbb F[x]\) 使得

\[\begin{cases} f(x)\equiv r_1\ (\bmod\ f_1(x))\\ f(x)\equiv r_2\ (\bmod\ f_2(x))\\ \dots \ \dots\\ f(x)\equiv r_m\ (\bmod\ f_m(x))\\ \end{cases}\]

与普通中国剩余定理相似，构造特解 \(f'(x)\)，在其上加减所有模数的最小共倍式，构造方式如下：
令 \(F_i(x)=\frac{{\large\prod}^m_{j=1}f_j(x)}{f_i(x)}\)，则该方程的特解 \(f'(x)=\sum^m_{j=1}{F_i}{F_i}^{-1}{r_i}\)，其中的 \({F_i}^{-1}\) 表示 \(F_i\) 的逆，将其设为 \(\mu(x)\)，形象地，就是 \(\mu(x)F_i(x)\equiv 1\ (\bmod\ f_i)\)。

那么，这里的通解为 \(f(x)=f'(x)+g(x)\prod^m_{i=1}f_i(x)\)，其中 \(g(x)\) 为 \(\mathbb F[x]\) 中的任意多项式。