A-05 前向选择法和前向梯度法

目录

• 前向选择法和前向梯度法
• 一、前向选择法
  • 1.1 余弦相似度求投影
  • 1.2 举例
  • 1.3 前向选择法优缺点
    • 1.3.1 优点
    • 1.3.2 缺点
• 二、前向梯度法
  • 2.1 举例
  • 2.2 前向梯度法优缺点
    • 2.2.1 优点
    • 2.2.2 缺点

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前向选择法和前向梯度法

由于前向选择法和前向梯度法的实现原理涉及过多的矩阵运算，本文只给出两种算法的思路。两者实现都是把矩阵中的向量运算具体化成平面几何中的向量运算。

一、前向选择法

前向选择法是一种典型的贪心算法。

通常用前向选择法解决线性模型的回归系数。对于一个有m$m$个样本，每个样本有n$n$个特征的训练集而言，假设可以拟合一个线性模型Y=ωTX$Y={\omega }^{T}X$，其中Y$Y$是m∗1$m\ast 1$的向量，X$X$是m∗n$m\ast n$的矩阵，ω$\omega$是n∗1$n\ast 1$的向量。即可通过前向选择法求得最小化该模型的参数ω$\omega$。

1.1 余弦相似度求投影

首先把矩阵X$X$看成n$n$个m∗1$m\ast 1$的向量Xi(i=1,2,⋯,n)$X_i(i=1,2,\cdots ,n)$，之后选择与向量Y$Y$余弦相似度最大，即与Y$Y$最为接近的一个变量Xi$X_i$，然后用Xi$X_i$逼近Y$Y$，即可得到

Y^=Xiωi$$\hat{Y}=X_i{\omega }_i$$

其中ωi=<Xi,Y>||Xi||2余弦相似度${\omega }_i=\frac{<X_i,Y>}{{||X_i||}^2}\text{余弦相似度}$，其中<Xi,Y>=|Y|∗cosα$<X_i,Y>=|Y|\ast \cos \alpha$，α$\alpha$是Xi$X_i$和Y$Y$的夹角。

上述公式因此可以认为Y^$\hat{Y}$是Y$Y$在Xi$X_i$上的投影。

得到Y$Y$的接近值Y^$\hat{Y}$后既可以得到残差值为Yerr=Y−Y^$Y_{err}=Y-\hat{Y}$，由于Y^$\hat{Y}$是投影，则Y^$\hat{Y}$和Xi$X_i$是正交的，因此可以以Yerr$Y_{err}$为新的变量，从剩下的Xi(i=1,2,i−1,i+2,⋯,n)$X_i(i=1,2,i-1,i+2,\cdots ,n)$中，选择一个新的最接近残差Yerr$Y_{err}$的Xi$X_i$重复上述投影和计算残差的流程，直至残差为0，停止算法。即可得到ω$\omega$。

1.2 举例

# 举例图例
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
%matplotlib inline
font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')
# X1w1

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(8, 5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(6, 4.5, s='\(X_1*\omega_1\)', color='g')

# X2w2

plt.annotate(xytext=(8, 5), xy=(9.3, 7.5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(9.3, 7, s='\(X_2*\omega_2\)', color='g')

# X1

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(4, 5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(2.5, 4.5, s='\(X_1\)', color='g')

# X2

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(3, 7), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(2, 6, s='\(X_2\)', color='g')

# X2

plt.annotate(xytext=(8, 5), xy=(9, 7), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(8.2, 6.5, s='\(X_2\)', color='g')

# Y

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(8, 8), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(5, 7.5, s='\(Y\)', color='g')

#

plt.annotate(xytext=(8, 5), xy=(8, 8), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="-", color='gray'))

plt.text(7.5, 6.5, s='\(Y_1\)', color='g')

#

plt.annotate(xytext=(8, 8), xy=(9.3, 7.5), s='',

arrowprops=dict(arrowstyle="-", color='gray'))

plt.text(8.5, 8, s='\(Y_2\)', color='g')
plt.xlim(0, 11)

plt.ylim(2, 10)

plt.title('前向选择法举例', fontproperties=font, fontsize=20)

plt.show()

上图假设X$X$为2$2$维，首先可以看出，离Y$Y$最接近的是X1$X_1$，因此画出Y$Y$在X1$X_1$上的投影红线X1∗ω1$X_1\ast {\omega }_1$，此时残差为灰线Y1$Y_1$。由于目前只剩下X2$X_2$，所以接着用残差Y1$Y_1$在X2$X_2$上投影得到红线X2∗ω2$X_2\ast {\omega }_2$，如果不只是X2$X_2$，则选择最接近Y1$Y_1$的Xi$X_i$。此时的X1ω1+X2ω2$X_1{\omega }_1+X_2{\omega }_2$则模拟了Y$Y$，即ω=[ω1,ω2]$\omega =[{\omega }_1,{\omega }_2]$。

1.3 前向选择法优缺点

1.3.1 优点

1. 算法对每个Xi$X_i$只做一次操作，速度快。

1.3.2 缺点

1. 由于变量Xi$X_i$之间不是正交的，所以每次都必须做投影缩小残差，所以前向选择法最后只能给出一个局部近似解。(可以考虑下面的前向梯度法)

二、前向梯度法

前向梯度法类似于前向选择法，不同之处在于前向梯度法废除了前向选择法的投影逼近Y$Y$，取而代之的是在每次最接近Y$Y$的向量Xi$X_i$的方向上移动一小步，并且向量Xi$X_i$移动会不会被剔除，而是继续从Xi(i=1,2,i−1,i,i+1,⋯,n)$X_i(i=1,2,i-1,i,i+1,\cdots ,n)$中选择一个最接近残差Yerr$Y_{err}$(注：残差计算方式类似于前向选择法)的向量Xi$X_i$，然后再走一小步，直至残差为0，停止算法，即可得到ω$\omega$。

2.1 举例

# 举例图例
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
%matplotlib inline
font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')
# X1

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(3, 5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(2.4, 4.8, s='\(\epsilon{X_1}\)', color='g')

# eX1

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(4, 5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(3.2, 4.8, s='\(\epsilon{X_1}\)', color='g')

# eX1

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(5, 5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(4.2, 4.8, s='\(\epsilon{X_1}\)', color='g')

# eX1

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(2.8, 5), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(1.9, 4.8, s='\(X_1\)', color='g')

# eX1

plt.annotate(xytext=(6.1, 6.2), xy=(7, 6.2), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(6.2, 6, s='\(\epsilon{X_1}\)', color='g')
# ex2

plt.annotate(xytext=(5, 5), xy=(6.2, 6.2), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))

plt.text(5.2, 5.8, s='\(\epsilon{X_2}\)', color='g')

# X2

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(3, 6), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(2, 5.5, s='\(X_2\)', color='g')

# X2

plt.annotate(xytext=(5, 5), xy=(6, 6), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(5.6, 5.5, s='\(X_2\)', color='g')
# Y

plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(8, 7), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))

plt.text(5, 6.2, s='\(Y\)', color='g')
plt.annotate(xytext=(5, 5), xy=(8, 7), s='', color='r',

arrowprops=dict(arrowstyle="-", color='gray'))
plt.xlim(1, 9)

plt.ylim(4, 8)

plt.title('前向梯度法举例', fontproperties=font, fontsize=20)

plt.show()

上图假设X$X$为2$2$维，首先可以看出，离Y$Y$最接近的是X1$X_1$，因此沿着向量Xi$X_i$的方向走上一段距离，此处的ϵ$ϵ$是一个手动调整的超参数，走了一段距离后发现，离残差Yerr$Y_{err}$最近接的还是X1$X_1$，因此继续接着走一段距离，直到走到离残差Yerr$Y_{err}$最近的为X2$X_2$的时候，沿着向量X2$X_2$的方向走上一段距离，发现此时残差Yerr$Y_{err}$离X1$X_1$更近，则沿着X1$X_1$走一段距离，直到走到最后残差为0，停止算法，即可得到ω$\omega$。

2.2 前向梯度法优缺点

2.2.1 优点

1. 可以手动控制ϵ$ϵ$的大小，即可以控制算法的精准度，如果ϵ$ϵ$较小的时候算法精准度很高

2.2.2 缺点

1. ϵ$ϵ$小，算法精准度高，同时算法迭代次数增加；ϵ$ϵ$大，算法精准度降低。类似于梯度下降，这是前向梯度法较大的一个问题。(参考最小角回归法)