02-27 朴素贝叶斯

 

目录

• 朴素贝叶斯
• 一、朴素贝叶斯学习目标
• 二、朴素贝叶斯引入
• 三、朴素贝叶斯详解
  • 3.1 朴素贝叶斯构造
  • 3.2 朴素贝叶斯基本公式
  • 3.3 朴素贝叶斯参数估计
    • 3.3.1 特征值为离散值
    • 3.3.2 特征值为稀疏的离散值
    • 3.3.3 特征值为连续值
  • 3.4 三种不同的朴素贝叶斯
    • 3.4.1 多项式朴素贝叶斯
    • 3.4.2 伯努利朴素贝叶斯
    • 3.4.3 高斯朴素贝叶斯
• 四、朴素贝叶斯流程
  • 4.1 输入
  • 4.2 输出
  • 4.3 流程
• 五、朴素贝叶斯优缺点
  • 5.1 优点
  • 5.2 缺点
• 六、小结

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朴素贝叶斯

朴素贝叶斯是基于贝叶斯公式与特征条件独立假设的分类方法(注：贝叶斯公式是数学定义，朴素贝叶斯是机器学习算法)。朴素贝叶斯基于输入和输入的联合概率分布，对于给定的输入，利用贝叶斯公式求出后验概率最大的输出yy 。即可以总结为以下三点

1. 已知类条件概率密度函数表达式和先验概率
2. 利用贝叶斯公式转换成后验概率
3. 根据后验概率大小进行决策分类

一、朴素贝叶斯学习目标

1. 朴素贝叶斯构造
2. 朴素贝叶斯基本公式
3. 朴素贝叶斯参数估计
4. 多项式朴素贝叶斯、伯努利朴素贝叶斯、高斯朴素贝叶斯
5. 朴素贝叶斯流程
6. 朴素贝叶斯优缺点

二、朴素贝叶斯引入

假设现在有一个有两个类别的鸢尾花数据集，并且已经知晓每个数据的分类情况，并且假设数据的分布如下图所示。

# 朴素贝叶斯引入图例
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
%matplotlib inline

font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')

iris_data = datasets.load_iris()
X = iris_data.data[0:100, [0, 1]]
y = iris_data.target[0:100]

plt.scatter(X[0:50, [0]], X[0:50, [1]], color='r',
            s=50, marker='o', label='山鸢尾')
plt.scatter(X[50:100, [0]], X[50:100, [1]],
            color='b', s=50, marker='x', label='杂色鸢尾')
plt.xlabel('花瓣长度(cm)', fontproperties=font)
plt.ylabel('花瓣宽度(cm)', fontproperties=font)
plt.legend(prop=font)
plt.show()

现在假设有一个未知分类的鸢尾花数据(x1(花瓣长度),x2(花瓣宽度))(x1(花瓣长度),x2(花瓣宽度)) ，用p1(x1,x2)p1(x1,x2) 表示样本属于山鸢尾(red)的概率，用p2(x1,x2)p2(x1,x2) 表示属于杂色鸢尾(blue)的概率，p1(x1,x2)+p2(x1,x2)=1p1(x1,x2)+p2(x1,x2)=1 。

假设如果p1(x1,x2)>p2(x1,x2)p1(x1,x2)>p2(x1,x2) 则(x1,x2)(x1,x2) 为山鸢尾，否则为杂色鸢尾，即选择概率高的类别作为新样本的分类结果。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，选择具有最高概率的决策。

如果使用条件概率来表示这个上述所说的分类，则可以表示为

 

p(red|x1,x2)>p(blue|x1,x2)样本属于山鸢尾p(red|x1,x2)<p(blue|x1,x2)样本属于杂色鸢尾(1)(2)(1)p(red|x1,x2)>p(blue|x1,x2)样本属于山鸢尾(2)p(red|x1,x2)<p(blue|x1,x2)样本属于杂色鸢尾

 

即如果出现一个新样本，假设数据集有nn 个特征、mm 个分类，只需要计算这个样本的

 

argmax(p(red|x1,x2),p(blue|x1,x2))argmax(p(red|x1,x2),p(blue|x1,x2))

 

如果只有两个特征x1x1 和x2x2 ，那么计算并不会很难，按照条件公式计算即可，但是你有没有想过如果有nn 特征，KK 个分类呢？即计算

 

argmaxckp(cj|x1,x2,…,xn)(k=1,2,⋯,K)argmax⏟ckp(cj|x1,x2,…,xn)(k=1,2,⋯,K)

 

上述的计算量是非常大的，那么我们有没有一种简单的方法能够改善该公式呢？有是有一定有的，即朴素贝叶斯法。

三、朴素贝叶斯详解

3.1 朴素贝叶斯构造

假设现有一个训练集有KK 个类别c1,c2,…,ckc1,c2,…,ck ，mm 个样例，每个样例有nn 个特征，训练集可以表示为

 

((x(1)1,x(1)2,⋯,x(1)n,y1)(x(2)1,x(2)2,⋯,x(2)n,y2),⋯,(x(m)1,x(m)2,⋯,x(m)n,ym))((x1(1),x2(1),⋯,xn(1),y1)(x1(2),x2(2),⋯,xn(2),y2),⋯,(x1(m),x2(m),⋯,xn(m),ym))

 

从样本中可以得到

朴素贝叶斯的先验分布为p(ck)(k=1,2,…,K)p(ck)(k=1,2,…,K) ,

朴素贝叶斯的条件概率分布为p(x1,x2,…,xn|ck)p(x1,x2,…,xn|ck) ,

利用条件概率公式得到XX 和YY 的联合分布p(X,Y)p(X,Y)

 

p(X,Y)=p((x1,x2,…,xn),ck)=p(ck)p(x1,x2,…,xn|ck)(3)(4)(3)p(X,Y)=p((x1,x2,…,xn),ck)(4)=p(ck)p(x1,x2,…,xn|ck)

 

由于p(x1,x2,…,xn|ck)p(x1,x2,…,xn|ck) 是一个nn 个维度的条件分布，计算难度超级复杂，因此假设XX 的nn 个维度之间相互独立(注：如果特征之间有大部分不是独立存在的，则应该尽量不要使用朴素贝叶斯模型，而应该考虑使用其他的分类方法)，则可以把这个nn 维的条件分布改写成

 

p(x1,x2,…,xn|ck)=p(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(x1,x2,…,xn|ck)=p(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)

 

虽然改写后的联合分布计算更加简单，但是由于假设所有的特征都是独立的，因此会相应的降低预测的不准确性。

3.2 朴素贝叶斯基本公式

假设已经得到了训练集的p(ck)p(ck) 和p(xj|ck)p(xj|ck) 值，假设现有一个测试样本(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn) ，则可以根据贝叶斯公式求得KK 个分类c1,c2,…,ckc1,c2,…,ck 各自的概率。

 

p(ck|x1,x2,…,xn)=p(x1,x2,…,xn|ck)p(ck)p(x1,x2,…,xn)=p(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(ck)p(x1,x2,…,xn)(5)(6)(5)p(ck|x1,x2,…,xn)=p(x1,x2,…,xn|ck)p(ck)p(x1,x2,…,xn)(6)=p(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(ck)p(x1,x2,…,xn)

 

求得所有分类各自的概率之后，哪一个分类的概率最大，则样本属于哪一个分类。

 

样本类别=max(p(c1|x1,x2,…,xn),p(c2|x1,x2,…,xn),⋯,p(ck|x1,x2,…,xn))=argmaxckp(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(x1,x2,…,xn)(7)(8)(7)样本类别=max(p(c1|x1,x2,…,xn),p(c2|x1,x2,…,xn),⋯,p(ck|x1,x2,…,xn))(8)=argmax⏟ckp(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(x1,x2,…,xn)

 

其中y=maxf(x)y=maxf(x) 表示yy 是f(x)f(x) 中所有的值中最大的输出；y=argmaxf(x)y=argmaxf(x) 表示yy 是f(x)f(x) 中，输出的那个参数tt 。

由于每一个类别的概率公式的分子都是相同的，把分子去掉后则可以把上述公式转化为朴素贝叶斯模型的基本公式

 

样本类别=argmaxckp(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(ck)=argmaxckp(ck)∏j=1np(xj|ck)(9)(10)(9)样本类别=argmax⏟ckp(x1|ck)p(x2|ck)⋯p(xn|ck)p(ck)(10)=argmax⏟ckp(ck)∏j=1np(xj|ck)

 

3.3 朴素贝叶斯参数估计

朴素贝叶斯模型的基本公式为

 

样本类别=argmaxckp(ck)∏j=1np(xj|ck)样本类别=argmax⏟ckp(ck)∏j=1np(xj|ck)

 

其中p(ck)p(ck) 通过极大似然估计很容易算出样本类别ckck 的出现频率，假设ckck 出现mkmk 次，则

 

p(ck)=mkmp(ck)=mkm

 

而对于p(xj|ck)p(xj|ck) ，则需要考虑特征值的取值与分布情况。

3.3.1 特征值为离散值

假设xjxj 是离散值，则可以假设xjxj 符合多项式分布，这种情况下的p(xj|ck)p(xj|ck) 是样本类别ckck 中特征xjxj 出现的频率，假设xjxj 在ckck 中出现的次数为mkjmkj ，则

 

p(xj|ck)=mkjmkp(xj|ck)=mkjmk

 

由于假设所有特征相互独立，如果某个特征没有出现在某个类别中，则p(xj|ck)=0p(xj|ck)=0 会使分类产生偏差，一般采用贝叶斯估计解决该问题，即引入拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)，即

 

p(xj|ck)=mkj+λmk+Sjλp(xj|ck)=mkj+λmk+Sjλ

 

其中λ≤0λ≤0 ，当λ=0λ=0 时为最大似然估计；λ=1λ=1 时称为拉普拉斯平滑，SjSj 为第j个特征可以能取值的个数(注：由于xjxj 是离散的值，xjxj 有可能出现多次，并且每次出现的值可能不同)。

3.3.2 特征值为稀疏的离散值

假设xjxj 是非常稀疏的离散值，即各个特征出现的概率很低，这个时候可以假设xjxj 符合伯努利分布，即特征xjxj 出现为11 ，不出现为00 。则p(xj|ck)p(xj|ck) 是xjxj 在样本类别ckck 中出现的频率，则

 

p(xj|ck)=p(xj|ck)xj+(1−p(xj|ck))(1−xj)p(xj|ck)=p(xj|ck)xj+(1−p(xj|ck))(1−xj)

 

3.3.3 特征值为连续值

假设xjxj 是连续值，则假设xjxj 符合高斯分布(正态分布)，则可以把xjxj 直接带入正态分布公式，即可得

 

p(xj|ck)=12πσ2k−−−−√exp(−(xj−μk)22σ2k)p(xj|ck)=12πσk2exp(−(xj−μk)22σk2)

 

其中μkμk 是所有xjxj 的期望值，σ2kσk2 是所有xjxj 的方差

3.4 三种不同的朴素贝叶斯

3.4.1 多项式朴素贝叶斯

多项式朴素贝叶斯(Multinomial Naive Bayes)特征值符合多项式分布，多用于高维度向量分类，即样本特征为多元离散值，因此最常用于文章分类。

from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB

3.4.2 伯努利朴素贝叶斯

伯努利朴素贝叶斯(Bernoulli Naive Bayes)特征值符合伯努利分布，针对布尔类型特征值的向量做分类，即样本特征为二元离散值，或者为稀疏的多元离散值。

from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB

3.4.3 高斯朴素贝叶斯

高斯朴素贝叶斯(Gaussian Naive Bayes)特征符合高斯分布，多用于特征值为连续值，可以利用高斯概率密度公式进行分类拟合。

from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

四、朴素贝叶斯流程

4.1 输入

有mm 个实例nn 维特征的数据集

 

T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xm,ym)}T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xm,ym)}

 

其中xixi 是第ii 个实例的特征向量即(xi(1),xi(2),⋯,xi(n))(xi(1),xi(2),⋯,xi(n)) ，xi(j)(j=1,2,⋯,n)xi(j)(j=1,2,⋯,n) 是第ii 个实例的第jj 个特征，xi(j)∈{aj1,aj2,⋯,ajSj}xi(j)∈{aj1,aj2,⋯,ajSj} ，ajl(l=1,2,⋯,Sj)ajl(l=1,2,⋯,Sj) 是第jj 个特征可能的第ll 个值，yi∈{c1,c2,⋯,cK}yi∈{c1,c2,⋯,cK} ，ck(k=1,2,⋯,K)ck(k=1,2,⋯,K) 是第kk 个类；实例xx 。

4.2 输出

实例xx 的类别。

4.3 流程

1. 计算先验概率和条件概率，即

 

p(Y=ck)=∑mi=1I(yi=ck)mp(X(j)=ajl|Y=ck)=∑mi=1I(xi(j)=ajl,yi=ck)∑mi=1I(yi=ck)(11)(12)(11)p(Y=ck)=∑i=1mI(yi=ck)m(12)p(X(j)=ajl|Y=ck)=∑i=1mI(xi(j)=ajl,yi=ck)∑i=1mI(yi=ck)

 

2. 对于给定的实例x=(x(1),x(2),⋯,x(n))Tx=(x(1),x(2),⋯,x(n))T ，计算

 

p(Y=ck)∏j=1np(X(j)=x(j)|Y=ck)p(Y=ck)∏j=1np(X(j)=x(j)|Y=ck)

 

3. 确定实例xx 的类别

 

y=argmaxckp(Y=ck)∏j=1np(X(j)=x(j)|Y=ck)y=argmax⏟ckp(Y=ck)∏j=1np(X(j)=x(j)|Y=ck)

 

五、朴素贝叶斯优缺点

5.1 优点

1. 朴素贝叶斯源自古典数学理论，其中用到了古典概率，有稳定的分类效果
2. 对小规模数据表现很好，不需要使用(OvR)即可以处理多分类问题，并且可以把数据集拆分训练达到增量的目的
3. 由于假设特征间相互独立，对缺失值不敏感，常用于文本分类

5.2 缺点

1. 由于假设特征间相互独立，也导致了分类的准确性会有误差(注：针对这一点可以调节关联不独立的特征，即半朴素贝叶斯算法)
2. 由于后验概率的计算往往都假设先验概率已知，对数据的分布也有假设，有可能会因为假设的不确定性导致分类的准确性有误差

六、小结

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯公式的一个理论，如果能记住贝叶斯公式并对概率论能提前有一个大概的了解，会更利于理解朴素贝叶斯法。

朴素贝叶斯法在能够很好地解决多分类问题，但是由于它最大的缺点，即假设特征都是独立的，所以一般被用于文本分类，因为一般会认为单词与单词之间都是相互独立的。

下一篇将会介绍一个在深度学习流行之前在工业上最常用的分类器，即支持向量机。