有理数-无理数-根号2-勾股定理

     数学史上毕达哥拉斯学派对整数有着近乎疯狂的迷信，认为世界上所有的东西都是整数或者有理数-两个整数的比，据说发现了勾股定理。任何一个直角三角形ABC

           a

        C--------B

  b     |        /

         |    /    c

        A

    三个点对应的三个边为a,b,c，则 a*a + b*b = c*c

    据说后来毕达哥拉斯的门徒发现，如果等腰直角三角形，既a=b=1的时候，这个c大概为1~1.5之间长度，就发现这个边长不能表示为有理数，是怎么想到的呢? 肯定不是拿尺子量的，是靠思辨和证明的方法，方法是这样的：

     由a=b=1 及a*a+b*b=c*c

     则 2 = c*c

     先假设c = Z / M,  就是先假设c是个有理数，分子为整数Z, 分母为整数M,  且Z和M互质，就是说他们是不能再化简的，比如2/6还能化简为1/3, 所以Z和M不能同时为偶数

    则 2 = (Z*Z) / (M*M)

    推得

       2*(M*M) = (Z*Z)

    所以(Z*Z) 为偶数，由于偶数的平方还是偶数，奇数的平方还是奇数, 

    （奇数可表示为2n+1, 则 (2n+1)*(2n+1) = 4n*n+4n+1, 仍然是个奇数)

   所以Z是偶数，Z表示为2*n

   则 2*(M*M) = (2*n*2*n)

    推得

          M*M = 2*n*n

    则M为偶数

   得到推论Z和M同时为偶数，这和假设Z和M互质矛盾，所以：

   两个短边为1的等腰直角三角形的最长边不是个有理数分式，后来据说毕达哥拉斯学派把发现这个的门徒扔到海里，然后发现了许多不是有理数的长度，这些数就被称为无理数，据说这类数是"没有理性的数"，根号是计算一个数的开平方操作，C语言中的函数为sqrt(double), 现在我们知道了sqrt(2)是个无理数。

    在希腊数学哲学欧洲数学历史和传统中，我们发现有别于中国的经验性思维的是他们的思辨，演绎，推理性思维，也就是所谓的理性，这些思想既科学的思考方法导致了西方数学和科学技术上的巨大发展。