最小生成树与 Kruskal 重构树

基本概念

对于有限可重集 $S$，称 $S$ 中最大的数为 $S$ 的瓶颈.（视语境不同也可指最小的数.）有限可重集之间可以定义大小关系：将元素分别从小到大排序，得到一个权值序列，按序列的字典序比较可重集的大小.

对于无向带权连通图 $G$，若 $G$ 的一个无环连通子图 $T$ 包含 $G$ 的所有顶点，则称 $T$ 为 $G$ 的一个生成树. $T$ 的边权总和称作生成树的大小，$T$ 的边权瓶颈称作生成树的瓶颈，$T$ 的边权从小到大排序后得到生成树的边权序列. 对某个图 $G$，所有生成树中最小的称作最小生成树，瓶颈最小的称作最小瓶颈生成树，边权序列字典序最小的称作最小字典序生成树.

一般地，对于无向带权图 $G$（不一定连通），也可定义相应的生成森林.

最小字典序生成树

对于图 $G$，设生成树 $T$ 的边权序列为 $\{t_i\}$，最小字典序生成树 $M$ 的边权序列为 $\{m_i\}$，则 $\{m_i\}$ 的字典序小于等于 $\{t_i\}$ 的字典序. 事实上我们有更强的结论：$\{m_i\}$ 的每个位置都小于等于 $\{t_i\}$！于是能够推出，对任意 $k$，$M$ 让第 $k$ 大的边取到了最小. 特别地，$M$ 让最大的边取到了最小，也就是说，最小字典序生成树都是最小瓶颈生成树. 另外，既然每条边都取到了最小，最小字典序生成树也是最小生成树.（同时最小生成树都是最小字典序生成树，因此这两种生成树等价；这也说明所有最小生成树的边权序列都相同.）

下面我们来证明这个结论. 用反证法，设某个 $i$ 能使 $m_i>t_i$. 现在在 $M$ 中只保留前 $i-1$ 条边（记为 $M^{\prime }$），这会形成 $n-i+1$ 个连通块（$n$ 为点数），将图 $G$ 划分成 $n-i+1$ 个点集. 在 $T$ 的 $n-1$ 条边中，至少要有 $n-i$ 条边是“跨点集”的（不然 $T$ 不连通了），根据抽屉原理，至少有一条边是 $t_1,t_2,\cdots ,t_i$ 之一（因为其他的边只有 $n-1-i$ 条），设它是 $t_j(1\le j\le i)$. 现在把 $t_j$ 加进 $M$，这会在 $M$ 中形成一个环. 由于 $t_j$ 是“跨点集”的（即 $t_j$ 的两个端点在 $M^{\prime }$ 中不连通），环上至少有一条边不属于 $M^{\prime }$，不妨设它是 $m_k$，这里我们有 $i\le k\le n-1$. 因为 $\{t_i\}$ 和 $\{m_i\}$ 都是升序，有 $t_j\le t_i<m_i\le m_k$. 于是只要把 $m_k$ 删掉，就把 $M$ 改造成了一棵字典序更小的生成树，这就导出了矛盾.

Kruskal 算法

给定图 $G$，我们用贪心法求解 $G$ 的最小字典序生成树. 首先把 $G$ 中所有边权从小到大排序，依次将这些边加入生成树中. 对于某一条边 $(u,v,w)$，若加入之后不形成环（即加入前 $u$ 与 $v$ 不连通）则加入，否则跳过. 可用并查集维护连通性. 时间复杂度 $O(m\log m)$，其中 $m$ 为边数.

这样贪心有一点小问题：如果存在相等的边权，它们加入的先后顺序如何确定呢？事实上，相等的边权无论按什么顺序加入，最后都会得到一棵最小字典序生成树. 这很容易证明：考虑我们即将加入一批边权为 $c$ 的边. 加入前的图 $G$ 可能已经连了一些边，我们把每个连通块都看作一个点；考察全体 $c$，忽略在连通块内部的边（缩点后相当于自环），我们先把其他 $c$ 都加入 $G$，然后取新 $G$ 的一个生成森林即可. 显然，取的边数是确定的. 另外，加入后新形成的连通块会在下一批边加入前缩掉，所以取哪个生成森林对之后的连通性没有影响.

这段分析是重要的. 我们在矩阵树定理的相关问题中还会见到它.

这便是最小生成树的 Kruskal 算法.

最小瓶颈路

对于图 $G$ 上的一条路径，可定义它的瓶颈为边权的瓶颈（本文中约定为最大值）. 对于点 $u$ 和 $v$，$u$ 到 $v$ 的最小瓶颈路是两点间所有路径中瓶颈最小的. 最小瓶颈路可能有多个，我们通常只希望求出一条来. 下面我们证明：设 $M$ 是 $G$ 的一个最小生成树，则 $u$ 到 $v$ 在 $M$ 上的简单路径一定是 $G$ 上的最小瓶颈路.

用反证法，假设 $u$ 到 $v$ 在 $M$ 上的路径不是最小瓶颈路. 设最小瓶颈为 $c$. 我们把路径上最大的那条边 $w$（根据假设，$w>c$）删去，这将 $M$ 分成两个连通块，一个包含 $u$，另一个包含 $v$. 考虑一条真正的最小瓶颈路，它从 $u$ 走到 $v$ 必定会跨过两个连通块，设跨过的这条边为 $w^{\prime }$，则有 $w^{\prime }\le c<w$. 现在把 $w^{\prime }$ 加回 $M$，$M$ 就变成了更小的生成树，这就导出了矛盾.

因此，给定图 $G$，先求一棵最小生成树，再用树上倍增或树剖求路径最值，这就求出了最小瓶颈. 时间复杂度 $O(m\log m+q\log n)$，其中 $m$ 为边数，$n$ 为点数，$q$ 为询问次数.

Kruskal 重构树

参考 cqy 课件，在此表示感谢.

Kruskal 算法是对生成树性质的充分利用. 有时候我们需要记录算法过程中的某些信息，这需要Kruskal 重构树.

在算法进行过程中，Kruskal 重构树始终是一个森林（若 $G$ 连通则最后会变成一棵树）. 首先建立 $n$ 个叶子结点，对应图 $G$ 的 $n$ 个结点. 接下来进行 Kruskal 算法，按边权升序枚举 $G$ 的边. 当一条边 $(u,v,w)$ 被跳过时不做操作，否则查出 $u$、$v$ 两点所在树的根 $r_u$、$r_v$（此时一定有 $r_u\ne r_v$），新建权值为 $w$ 的结点 $p$，将 $r_u$ 和 $r_v$ 设为 $p$ 的儿子.

这样做的正确性显然，因为在任意时刻，点 $u$ 和 $v$ 具有相同的树根当且仅当 $u$ 和 $v$ 在 Kruskal 算法中是否已经连通. 事实上，这棵重构树本身类似于一个有边权的并查集（而且可查历史版本）. 只需略微调整 Kruskal 算法中的并查集，每次不把 $u$ 和 $v$ 直接合并而是把它们都与新根 $p$ 合并（注意合并方向！），就能快速查出点所在树的根.

下面给出 Kruskal 重构树的一些性质.

• 重构树是一棵有 $n$ 个叶子的完满二叉树（非叶子节点恰有两个儿子）.

注意：整棵重构树有 $2n-1$ 个结点. 数组要开到 $2$ 倍.

• 非叶子结点的点权满足大根堆性质（父亲的权值大于等于左右儿子）.
• 最小生成树上 $u$ 到 $v$ 的简单路径对应于重构树上叶子 $u$ 到叶子 $v$ 的简单路径.

这两条性质给出一种新的求最小瓶颈路的方法：在重构树上求两点的最近公共祖先，它的权值即为最小瓶颈.

例题

待续……