一个简单不等式的证明（旧文补完）

x \ln \frac{x}{x - 1} > 1, \forall x > 1.

该不等式曾出现于无旋平衡树（范浩强 Treap）平均时间复杂度证明的一步放缩，但原文并未给出证明. 现将其补完.

实际上，这只是一道很简单的高中导数题罢了.

证明

熟知 $\ln$ 的切线不等式

\ln t < t - 1, \forall t \in (0, 1) \cup (1, + \infty) .

令 $t = \frac{x - 1}{x} (x > 1)$ 得

\ln \frac{x - 1}{x} < - \frac{1}{x} .

两边同乘 $- x$ 得

x \ln \frac{x}{x - 1} > 1.

这便是所要证的.

笔者还想继续讨论该式的更多性质.

令

f (x) = x \ln \frac{x}{x - 1}, x \in (1, + \infty) .

$f (x)$ 的单调性

f^{'} (x) = \ln \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} .

在切线不等式中令 $u = \frac{x}{x - 1} (x > 1)$ 得

\ln \frac{x}{x - 1} < \frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{1}{x - 1} .

故 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 在定义域上单调减少.

$f (x)$ 的凹凸性

\begin{aligned} f^{″} (x) & = \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} \\ = \frac{1}{x (x - 1)^{2}} > 0. \end{aligned}

因此 $f (x)$ 是凸函数.

$f (x)$ 的渐进线

当 $x \to 1^{+}$ 时， $\frac{x}{x - 1} \to + \infty$ ，故 $f (x) \to + \infty$ .

当 $x \to + \infty$ 时， $x \ln \frac{x}{x - 1} = \ln {(1 + \frac{1}{- x})}^{- x} \to \ln e = 1$ . 这一步极限是“两个重要极限”之一.

因此 $f (x)$ 有渐近线 $x = 1$ 和 $y = 1$ . 结合单调性可知，其图象在两条渐近线的右上方.

$f (x)$ 的图象

基于以上讨论，容易作出函数的图象：

f(x)

$f (x)$ 的渐近行为

此处研究 $x \to + \infty$ 时 $f (x) \to 1$ 的速度. 下面证明 $f (x) - 1 \sim \frac{1}{2 x}$ ，即 $f (x) - 1$ 与 $\frac{1}{2 x}$ 是等价无穷小.

直接作比，用两次洛必达法则（显然有 $f^{'} (x) \to 0$ ）：

\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} \frac{f (x) - 1}{(2 x)^{- 1}} & = lim_{x \to + \infty} \frac{f^{'} (x)}{- 2^{- 1} x^{- 2}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{f^{″} (x)}{x^{- 3}} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{- 1} (x - 1)^{- 2}}{x^{- 3}} \\ = lim_{x \to + \infty} {(\frac{x}{x - 1})}^{2} \\ = lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x - 1})}^{2} \\ = 1. \end{aligned}

posted @ 2024-09-14 21:42 abcc! 阅读(25) 评论(0) 编辑收藏举报

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