2024年11月
用“积佬”的眼睛看世界：高考中的分析学
摘要： 本文是一个系列，计划长期更新（在笔者健在的前提下）。 本文收录较难的高考习题，并引入一些略微超纲的思维方法，以求更为自然地解决问题，而不去回避其数学本质。 未来会将其整理为三个板块：数列极限、级数、积分。 【例 1】已知数列 {an} 满足递推关系 \(a_1=1,\ a_{n+1}= 阅读全文
posted @ 2024-11-03 18:33 abcc! 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2024年9月
一个简单不等式的证明（旧文补完）
摘要： xln⁡xx−1>1,∀x>1.该不等式曾出现于无旋平衡树（范浩强 Treap）平均时间复杂度证明的一步放缩，但原文并未给出证明. 现将其补完. 实际上，这只是一道很简单的高中导数题罢了. 证明 熟知 ln 的切线不等式 \[\ln t 阅读全文
posted @ 2024-09-14 21:42 abcc! 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年11月
一则求总贡献的例题——联考题引发的思考
摘要： 对于一些求总贡献的题，与许多人的常识相反，直接求期望往往比求总和更容易. 以今天联考 T1 的一个环节为例. 【例】对排列 Pn，定义 C(Pn):=|{i:Pj>Pi, ∀j<i}|，即其前缀最小值序列的不同数个数. 给定 \(n\ 阅读全文
posted @ 2023-11-04 22:06 abcc! 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年8月
几则组合求和式的积分解法
摘要： 记号约定：本文中默认 n∈N，k∈Z，隐去范围的求和指标取一切使求和对象有意义且非零的值. **【例 1】**求 ∑k(nk)1k+1. **【解】**注意到 $\displaystyle\int 阅读全文
posted @ 2023-08-30 21:14 abcc! 阅读(142) 评论(0) 推荐(0) 编辑
快速傅里叶变换（FFT）基础
摘要： 本文是对 FFT 和 NTT 原理及实现的介绍，包含所有必要的证明. 阅读本文需要具备一点基本的代数知识. 给定 n 次多项式 F(x) 和 m 次多项式 G(x)，现在要求它们的卷积 H(x)=F(x)G(x). 朴素的暴力实现复杂度为 O(nm)， 阅读全文
posted @ 2023-08-19 21:31 abcc! 阅读(142) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年7月
最小生成树与 Kruskal 重构树
摘要： #### 基本概念 对于有限可重集 S，称 S 中最大的数为 S 的**瓶颈**.（视语境不同也可指最小的数.）有限可重集之间可以定义大小关系：将元素分别从小到大排序，得到一个**权值序列**，按序列的**字典序**比较可重集的大小. 对于无向带权连通图 G，若 G 的一个无环连 阅读全文
posted @ 2023-07-28 16:24 abcc! 阅读(102) 评论(0) 推荐(0) 编辑
无旋平衡树（范浩强 Treap）平均时间复杂度证明
摘要： 范浩强 Treap 是一种应用广泛的数据结构（可参考 OI_Wiki），然而网上难以找到比较严谨的复杂度证明. 本文将严格证明 n 个结点的 Treap 的期望树高为 Θ(log⁡n)，由于一次分裂或合并操作的递归深度恰为树高，这便说明了一次操作的平均时间复杂度为 \(\ 阅读全文
posted @ 2023-07-26 19:47 abcc! 阅读(490) 评论(0) 推荐(0) 编辑
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