详解使用 Tarjan 求 LCA 问题（图解）

LCA问题有多种求法，例如倍增，Tarjan。

本篇博文讲解如何使用Tarjan求LCA。

如果你还不知道什么是LCA，没关系，本文会详细解释。

在本文中，因为我懒为方便理解，使用二叉树进行示范。

LCA是什么，能吃吗?

LCA是树上最近公共祖先问题。

最近公共祖先就是树上有两个结点，找一个结点，是他们的公共祖先，并且离他们两个结点最近。

例如这是一棵树：

 

树上 4,7 两个结点的 LCA 就是 2 了。

1 虽然也是他们的公共祖先，但并不是最近的。

再举个例子，8,5 的祖先是 5。8,6 的祖先是 1。

怎么求LCA问题？

在开头已经说过了，LCA 问题有多种求法。本文要介绍的是相对简单的 Tarjan 求 LCA。

注意：Tarjan 求 LCA 是一种离线的算法，也就是说它一遍求出所有需要求的点的 LCA，而不是需要求哪两个点再去求。

在开始介绍前的补充

Tarjan 求 LCA 需要用到并查集，以下是本人使用的并查集模板。

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

int fa[100000]; void reset(){     for (int i=1;i<=100000;i++){         fa[i]=i;     } } int getfa(int x){     return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]); } void marge(int x,int y){     fa[getfa(y)]=getfa(x); }

由于 Tarjan 是在遍历到目标点的时候得出答案并输出，那么如果你不输出,就需要使用一些东西来记录它（一般不用）。

关于记录

除非你之后需要 LCA 的结果再做一些操作，否则不需要记录，直接在 DFS 中输出即可。

我使用的是 STL 中的 Map 和 Pair，因为 LCA 是求两个点，Pair 正好可以满足一对数据。而 Map 的哈希机制可以实现 O(1) 查找。

Tarjan 求 LCA 做法

总体思想

遍历每一个结点并使用并查集记录父子关系。

Tarjan 是一种 DFS 的思想。我们需要从根结点去遍历这棵树。

当遍历到某一个结点(称之为 x) 时，你有以下几点需要做的。

1将当前结点标记为已经访问。

2递归遍历所有它的子节点(称之为 y)，并在递归执行完后用并查集合并 x 和 y。

3遍历与当前节点有查询关系的结点(称之为 z)(即是需要查询 LCA 的另一些结点)，如果 z 已经访问，那么 x 与 z 的 LCA 就是 $getfa(z)$(这个是并查集中的查找函数)，输出或者记录下来就可以了。

这是伪代码

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

void tarjan(int x){     //在本代码段中，s[i]为第i个子节点 , t[i]为第i个和当前节点有查询关系的结点。     vis[x]=1;//标记已经访问，vis是记录是否已访问的数组     for (i=1;i<=子节点数;i++){//枚举子节点 (递归并合并)         tarjan(s[i]);         marge(x,s[i]);//并查集合并     }     for (i=1;i<=有查询关系的结点数;i++){         if (vis[t[i]]){             cout<<x<<"和"<<t[i]<<"的LCA是"<<getfa(t[i])<<endl;//如果t[i]已经访问了输出(getfa是并查集查找函数)         }     } }

核心代码就这么一点？对，就这么一点。

如果你还不理解，那么可以跳转到最后一章看图解演示。

一些重要的细节

为了接下来的讲解，下面我们明确一下读入方式，不同的读入方式可以自己变通一下。

第一行两个数 n 和 q，表示结点数和查询数。

接下来 n 行每行两个数，表示左子结点和右子结点编号，如没有则是 -1。

接下来 q 行每行两个数，表示查询的两个结点编号。

例如上图的树，读入为

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9 5 2 3 4 5 -1 6 -1 -1 7 8 -1 9 -1 -1 -1 -1 -1 -1 5 4 7 4 7 8 9 3 8 6

如何存储查询关系

我在这里用的方法是二维数组。

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int t[100000][10],top[100000];

//t[i][j]表示编号为i的结点，第j个和它有查询关系的点的编号

//top[i]表示编号为i的结点与它有查询关系的点的数量

　　

注意：需要双向存储关系。例如结点 2 和 3，不仅要更新t[2]，还要更新t[3]。

读入代码长这样：

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1 2 3 4 5

for (int i=1;i<=q;i++){     cin>>a[i]>>b[i];     t[a[i]][++top[a[i]]]=b[i];     t[b[i]][++top[b[i]]]=a[i]; }

当然如果你想要优化下空间那么把这个数组变成vector也是没问题的。

这就没了...

代码

直接输出的写法

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#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,k,q,v[100000]; map<pair<int,int>,int> ans;//存答案 int t[100000][10],top[100000];//存储查询关系 struct node{     int l,r; }; node s[100000]; /*并查集*/ int fa[100000]; void reset(){     for (int i=1;i<=n;i++){         fa[i]=i;     } } int getfa(int x){     return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]); } void marge(int x,int y){     fa[getfa(y)]=getfa(x); } /*------*/ void tarjan(int x){     v[x]=1;//标记已访问     node p=s[x];//获取当前结点结构体     if (p.l!=-1){         tarjan(p.l);         marge(x,p.l);     }     if (p.r!=-1){         tarjan(p.r);         marge(x,p.r);     }//分别对l和r结点进行操作     for (int i=1;i<=top[x];i++){         if (v[t[x][i]]){             cout<<getfa(t[x][i])<<endl;         }//输出     } } int main(){     cin>>n>>q;     for (int i=1;i<=n;i++){         cin>>s[i].l>>s[i].r;     }     for (int i=1;i<=q;i++){         int a,b;         cin>>a>>b;             t[a][++top[a]]=b;//存储查询关系             t[b][++top[b]]=a;     }     reset();//初始化并查集     tarjan(1);//tarjan 求 LCA }

先记录而不输出的写法

+ 展开代码?

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#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,k,q,v[100000]; map<pair<int,int>,int> ans;//存答案 int t[100000][10],top[100000];//存储查询关系 int a[100000],b[100000]; struct node{     int l,r; }; node s[100000]; /*并查集*/ int fa[100000]; void reset(){     for (int i=1;i<=n;i++){         fa[i]=i;     } } int getfa(int x){     return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]); } void marge(int x,int y){     fa[getfa(y)]=getfa(x); } /*------*/ void tarjan(int x){     v[x]=1;     node p=s[x];     if (p.l!=-1){         tarjan(p.l);         marge(x,p.l);     }     if (p.r!=-1){         tarjan(p.r);         marge(x,p.r);     }     for (int i=1;i<=top[x];i++){         if (v[t[x][i]]){             pair<int,int> tmp,tmp1;//用pair配合map来存储答案             tmp=make_pair(x,t[x][i]);             tmp1=make_pair(t[x][i],x);//两个pair的目的是例如3 2这种数据如果搜到3才有答案那么进时的顺序不止是(3,2)，还有(2,3)，方便输出结果时查询             ans[tmp]=getfa(t[x][i]);             ans[tmp1]=getfa(t[x][i]);             cout<<"#"<<ans[tmp]<<endl;         }     } } int main(){     cin>>n>>q;     for (int i=1;i<=n;i++){         cin>>s[i].l>>s[i].r;     }     for (int i=1;i<=q;i++){         cin>>a[i]>>b[i];         t[a[i]][++top[a[i]]]=b[i];         t[b[i]][++top[b[i]]]=a[i];     }     reset();     tarjan(1);     for (int i=1;i<=q;i++){         pair<int,int> tmp;         tmp=make_pair(b[i],a[i]);         cout<<a[i]<<"-"<<b[i]<<":"<<ans[tmp]<<endl;     } }

算法演示

 

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