模拟赛总结（3）

一.题目解析

1.石砖楼梯

由于对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 2^{31}-1$ 所以暴力会被卡掉。
初步估算时间复杂度为：$O(Tlongn)$。
先观察一下每层正好垒完需要的砖数：

1 : 1
2 : 3
3 : 6
4 : 10
5 : 15

下面以此类推，我们可以发现：垒完 $x$ 列楼梯需要 $\frac{x\times (x+1)}{2}$。

然后还需要二分枚举 $x$ 列可以构成的砖数，满足 $l\le n\le r$（$l,r$ 为区间的左右端点），用等差数列求出已搬完的即可。

还有一种数学方法：

解一元二次方程：$\frac{1}{2}{k}^2+\frac{1}{2}k-n=0$

带入求根公式：

$x_1=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+2n}$

$x_2=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+2n}$

$x_1<0$ 舍去，留 $x_2$，之后和第一种方法一样，用等差数列。

2.像素画板

这个题的时间复杂度是需要优化的，我们对于每一个 $4$ 号询问，可以看成 $(0,0)$ （可能会改变）到 $(x,y)$ 之间被染色的方块个数。

既然是求区间，就可以用前缀和预处理：

sum[i][j] += sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1];

处理完后暴力就行。

3.分堆

先用欧拉筛预处理所有的质数。

欧拉筛模版：

int vis[N], prime[N], cnt = 0;
for (int i = 2;i <= n; ++i){
  if (!vis[i]) prime[++cnt] = i;
  for (int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n; ++j) {
    vis[i * prime[j]] = 1;
    if (i % prime[j] == 0) break;
  }
}

然后我们想：对于一个数，分解的最大值确认，由于可能被多次分出，所以考虑 $DP$ 预处理：

dp[i] = max(dp[i], dp[j] + dp[i-j] + zs[i])

其中 $zs[i]$ 是判断 $i$ 是否为质数的数组。

而有可能出现多个 $j$ 都转移出最终结果，其中 $j$ 和 $i-j$ 可能都不是质数，质数只需枚举到 $(i+1)/2$，最后直接枚举。

4.小A的金币

枚举左端点 $l$，二分出 $r$，计算把 $[l,r]$ 内的所有 $S$ 都变成 $C$，之后把每个 $S$ 块的开头设成 $1$ 后使用前缀和。

时间复杂度：$O(mlongm)$，显然过不了 $100\mathrm{\%}$ 的数据。

我们考虑 $DP$。

我们发现，$P$ 变成 $S$ 还是 $C$ 并不影响消耗的次数与答案，$P$ 附近有什么变什么。

固定左端点，考虑右端点 $r\to r+1$

• 如果 $r+1$ 是 $C$ 可以直接洗。

• 如果 $r+1$ 是 $P$ 可以花费 $2$ 代价换，不过如果 $n<2$ 就不能再扩展了。

• 如果 $r+1$ 是 $S$，则如果 $max\{x,l\}$ 之间有其他 $S$，代价不变化，否则代价变化。

时间复杂度：$O(n)$，这样就可以过 $100\mathrm{\%}$ 的数据。

二.总结

$T1$ 多组数据，输入时 scanf("%d", &n) 前面没有加 $\sim$ 挂了 $100pts$。

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本文作者：abc_mx
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