SciTech-Mathmatics-Probability+Statistics:Quantifing Uncertainty_多元数据统计分析: 多元数据 的 认知: 概念 和 多元统计分析的认知+应用

Chapt 1 学习目标

1. 理解多元数据及多元统计分析与一元统计分析的区别。
2. 掌握数据的计量尺度与数据类型。
3. 了解多元统计分析的应用分类。

1.1  多元数据认知

1.1.1 多元数据 的概念
对任何一个现实问题要转化为一个统计问题，
首要的工作是要对其特征进行刻画:

• 一般采用随机变量.
• 多个特征采用多个随机变量, 如 $(X_1,X_2,\cdots ,X_p)$ .
• 随机变量一般是抽象的.
• 当随机变量描述的是有具体的意义的指标(特征)时，例如经济上常用的:
  宏观经济指标GDP、社会商品零售总额、固定资产投资额、消费、个人可支配收入等。
  此时统计问题的指标, 有其概念、单位、核算方法等：
  - 如果仅考虑单一特征(一个变量)，则是一元统计问题，
  - 若要同时考虑多个特征，且要体现多个变量(指标)之间的关系，
  例如，个人消费 与其 可支配收入 正有关等，
  则不但要分析每一个变量，还要分析它们之间的关联程度；
  有必要对一元统计分析方法进行拓展

多元数据 统计分析 的构思

同时对诸多变量$(X_1,X_2,\cdots ,X_p)$ 进行分析，
就是多元统计分析分析问题的构思。

为对 多变量 进行 统计分析(描述性的或推断性的)，我们需要：

1. 通过大量的重复观察结果（数据）捕捉多变量及其之间的规律。

2. 对有 p 个变量的多元统计问题, 可采用矩阵方法对其观察数据进行表示, 如$\mathrm{矩}\mathrm{阵}X$:
   $\begin{array}{r}\\ \left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1p}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2p}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{np}\end{array}\right]\end{array}$
   $\begin{array}{r}\\ {\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{j}}:& \mathit{O}\mathit{b}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{s}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{v}\mathit{a}\mathit{t}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{n}of\mathit{i}\mathbf{-}\mathit{t}\mathit{h}\mathit{I}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{i}\mathit{v}\mathit{i}\mathit{d}\mathit{u}\mathit{a}\mathit{l}and\mathit{j}\mathbf{-}\mathit{t}\mathit{h}\mathit{V}\mathit{a}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{a}\mathit{b}\mathit{l}\mathit{e}\\ \mathit{n}:& \mathit{S}\mathit{a}\mathit{m}\mathit{p}\mathit{l}\mathit{e}\mathit{S}\mathit{i}\mathit{z}\mathit{e}\\ \mathit{p}:& \mathit{V}\mathit{a}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{a}\mathit{b}\mathit{l}\mathit{e}\mathit{S}\mathit{i}\mathit{z}\mathit{e}\end{array}$

3. 分类变量:
   如果,.有几个不同的个体属于 s 个不同的群体,
   则, 设 s 是取值为$1,2,\cdots ,$的分类变量, 以区分这些群体。
   
   
   

1.2 多元统计分析

1.2.1  多元统计分析 认知

多元统计分析是分析多维数据的理论与方法，
随着现实问题的需要与数据收集、储存技术的发展，多元统计分析方法也不断地拓展与发展变化。
但是，如果想对 多元统计分析 给出一个 准确的定义, 一般非常困难，
我们很难建立一个既被广泛接受, 又能对其方法技术进行合适逻辑归类的分类框架。

鉴于此，本书从研究 现实问题 实际需要 的视角，
通过归类科学研究的目标, 以体现多元统计分析的方法与应用。
科学研究的目标或实际需要，特别是经济、管理、社会、教育、心理、医学等领域，
一般包括以下几个方面:

• $\text{ data reduction or structural simplification}$
  数据减化或结构简化:
  以不损失有价值信息为前提，使用尽可能简单方式,
  对现象开展研究, 以期使解释更易。
• $\text{ sorting and grouping}$
  分类和聚类:
  根据测量得数据及其特征,
  将"相似的"对象或变量分类, 或构建规则 以将 新对象 分于预先定义好的类。
• $\text{ investigation of the dependence among variables}$
  调研变量之间的关系:
  研究者会对 变量之间的关系 感兴趣, 经常需要确定,
  是否所有的变量相互独立；还是一个或多个变量依赖于其他的一些变量，及其原因。
• $\text{ prediction}$
  预测:
  基于某些变量的观测数据，确立变量之间的关系，
  以对感兴趣的一个或多个变量的值进行预测。
• $\text{ hypothesis construction and testing}$
  假设的构建与检验:
  利用多元总体的参数构建统计假设，并对其进行检验，
  以对问题的假设或竞争性论点进行实证分析。
  
  

1.2.2 多元统计分析分类应用简例

为体现实际问题的分析需要和科学研究的目标，
下面通过问题举例, 呈现多元统计分析方法的应用，
学员可在此基础上举一反三，思考研究问题与多元统计分析方法的对应关系与选择。

1. 数据简化或结构约化简例

   • 使用几个与患者放疗反应有关的变量数据，构建一个测度方法以测量患者的疗效。
   • 基于许多国家运动员的竞赛成绩数据，构建一个指数测量男女运动员的技术水平。
   • 利用高级扫描仪收集的多谱图像数据，在二维平面上呈现海岸线的图像。

2. 分类和聚类简例

   • 基于若干人体生理变量的测量值，开发一种甄别方法，区别嗜酒者和非嗜酒者。
   • 税务部门使用从纳税申报表收集的数据，将纳税人分为 审计 和 不审计 两类。
   • 基于反映不同类型国家发展水平的若干变量数据，判断某国的发展方式应该:
     采取粗放型、集约型、粗放集约型、集约粗放型四种发展方式的哪一种。

3. 变量之间关系简例

   • 基于几个变量的数据识别影响聘用外部顾问的企业成功的因素。
   • 对一些与公司环境和公司组织有关的变量进行测量，并基此解释为什么:
     有些公司的产品具有创新性，而有些公司的产品不具有创新性。
   • 基于公司高管的风险倾向与其社会经济特征之间的关系，
     评估高管的风险行为与其绩效之间的关系。

4. 预测简例

   • 利用学生的测试分数与体现其高中、大学表现的若干个变量之间的联系，
     预测学生大学期间的表现。
   • 基于若干个会计和财务变量识别财产保险者潜在的破产状况。

5. 假设的构建与检验简例

   • 基于若干与污染有关的变量数据，以确定大城市的污染水平:
     在一周内大概相同，还是在工作日和周末之间存在明显的差异。
   • 基于一些与职业结构差异有关的变量数据，验证两种竞争的社会学观点的正确性。
   • 基于一些变量的数据，判断新兴工业化国家不同类型企业是否表现不同创新模式。
     
     
     

练习题

1. 数据的计量尺度包括哪几种？如何进行区分？
2. 多元统计分析应用主要包括哪些方面？