SciTech-Mathmatics-Analysis-Infinite Series+Limit: 无穷级数+极限: e=lim(1+1n)n

SciTech-Mathmatics-Analysis

  • Infinite Series: 无穷级数
  • Limit: 极限:
    e=limn(1+1n)n
    这是一个非常有现实意义的无穷级数:
    假设:
    一家银行设计,存一年利息率是100%; 这"一年"允许分成任意期数n
    n取多少期时,总利息收益最大?
    1Total=(1+11)1=2.02Total=(1+12)2=2.253Total=(1+13)3=2.37nTotal=(1+1n)n=e=2.718

求导数: limx(1+1x)x

f(x)=(1+1x)x, where x[1,+]=exln(x+1x)f(x)=exln(x+1x){[ 1ln(x+1x) ]+x[ xx+1(x2) ]}=(1+1x)x( ln(1+1x)1x+1 )letf(x)=0ln(1+1x)=1x+1x+1x=e1x+1xx+1=11x+1=e(1x+1)=(e1x+1)1lety=1x+1[12,0), since  x[1,+]y+1=ey, where  y[12,0) there's only one cross point (0,1) of z=(y+1) and z=ey since d(y+1)dy=1>ey=d(ey)dy when  y[,0)y+1<ey, when  y[12,0)xx+1<(e1x+1)1, when  x[1,+]x+1x>e1x+1, when  x[1,+]ln(1+1x)>1x+1, when  x[1,+]f(x)>0, when  x[1,+]f(x)=(1+1x)x , where x[1,+]

求极限: limx(1+1x)x

limn(1+1x)x=limx(x+1)xxx=limxexln(x+1)exln(x)=limxexln(x+1)xln(x)

转化为求极限:limxx(ln(x+1)ln(x))

也就是求极限(0  00型):limx(ln(x+1)ln(x))1x

letg(x)=ln(x+1)ln(x)>0g(1)=ln2(0,1)g(e1)=1ln(e1)(0,1)g(e)=ln(e+1)1(0,1)g(x)=1x(x+1)<0, when x(0,+)g(x) and g(x)>0, when x(0,+)g(x); ϵ=1eσ1, when x>ϵ σ>0, |g(x)0|<σ|g(x)|=[ln(x+1)ln(x)]<σe[ln(x+1)ln(x)]<eσ1+1x<eσx>1eσ1limxg(x)=limx(ln(x+1)ln(x))=0

now we can use  the LHospital Law for resolving 00 form limit 

limx(ln(x+1)ln(x))1x=limx(1x+11x)1x2, LHospital Law=limx1x(x+1)1x2=limxxx+1=limx(11x+1)=1

Sum up:limn(1+1x)x=limxexln(x+1)xln(x)=elimxx(ln(x+1)ln(x))=e1=eFinally:limn(1+1x)x=e

posted @   abaelhe  阅读(9)  评论(0编辑  收藏  举报
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