【leetcode】222. Count Complete Tree Nodes（完全二叉树）

Given the root of a complete binary tree, return the number of the nodes in the tree. According to Wikipedia, every level, except possibly the last, is completely filled in a complete binary tree, and all nodes in the last level are as far left as possible. It can have between 1 and 2h nodes inclusive at the last level h. Design an algorithm that runs in less than O(n) time complexity.

 

　　完全二叉树：设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边

题目要求时间复杂度小于O(n) 该如何处理呢？

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        //为啥要设计一个时间复杂度小于n的算法
        //完全二叉树的特性 o(n)的比较好写
        // 先写o(n)复杂的的
        int res=0;
        if(root==nullptr) return res;
        stack<TreeNode* > dp;
        dp.push(root);
        while(!dp.empty()){
            TreeNode* node=dp.top();
            res++;
            dp.pop();
            if(node->left!=nullptr){
                dp.push(node->left);
            }
            if(node->right!=nullptr){
                dp.push(node->right);
            }   
        }
        return res;
    }
};

　　对于完全二叉树，去掉最后一层，就是一棵满二叉树，我们知道高度为 h 的满二叉树结点的个数为 2^h - 1 个，所以要知道一棵完全二叉树的结点个数，只需知道最后一层有多少个结点。而完全二叉树最后一层结点是从左至右连续的，所以我们可以依次给它们编一个号，然后二分搜索最后一个叶子结点。我是这样编号的，假设最后一层在 h 层，那么一共有 2^(h-1) 个结点，一共需要 h - 1 位来编号，从根结点出发，向左子树走编号为 0， 向右子树走编号为 1，那么最后一层的编号正好从0 ~ 2^(h-1) - 1。复杂度为 O(h*log(2^(h-1))) = O(h^2)。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool isOK(TreeNode *root, int h, int v) {
        TreeNode *p = root;
        for (int i = h - 2; i >= 0; --i) {
            if (v & (1 << i)) p = p->right;
            else p = p->left;
        }
        return p != NULL;
    }

    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return 0;
        TreeNode *p = root;
        int h = 0;
        while (p != NULL) {
            p = p->left;
            ++h;
        }
        int l = 0, r = (1 << (h - 1)) - 1, m;
        while (l <= r) {
            m = l + ((r - l) >> 1);
            if (isOK(root, h, m)) l = m + 1;
            else r = m - 1;
        }
        return (1 << (h - 1)) + r;
    }
};