算法入门3：分治算法(下)

分治算法的设计模式 - 大化小，小化了

分治算法的主要步骤就是：分解，求解，合并。

 

Divide-and-Conquer(P)
{
         //问题规模足够小，直接解决
    if(P≤n0) return(ADHOC(P);

         //问题规模大，则分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
    divide p into smaller subinstance P1 ,P2 ,...,Pk

         //递归解决每个小问题
    for i = 1 to k
                 yi =  Divide-and-Conquer(Pi)

         //合并子问题的解
    T =  MERGE(y1,y2,...,yk)

    return(T)
}

 

经典问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

二分搜索

问题：从一个已经排好序的序列中，查找某一个元素。

 

分析：假设序列数组为a，大小为n，从小到大的顺序排列。按照最基本的思路，那就是遍历一遍数组，时间复杂度为O(n)。如果n很大，效率显然不够高，因为没有把题目中“已经排好序” 的条件用上。既然是已经排好序，那么就可以进行折半查找（二分搜索）。方法如下：

1. 将数组从中间分成上下两半，如果中间的值刚好是要查找的元素，直接输出结果。

2. 如果中间的值比要查找的大，那么说明要查找的元素只可能出现在上半段，再对上半段进行二分搜索。

3. 如果中间的值比要查找的小，那么说明要查找的元素只可能出现在下半段，再对下半段进行二分搜索。

 

这就是分治算法最典型的例子。每次把规模为n的问题划分成n/2，继续划分成n/4，n/8… 直到足够小能直接解决。

 

代码：

 

/************************************************************************
 * 名  称：BinarySearch.cpp
 * 功  能：分治算法案例：二分查找
 * 作  者：JarvisChu
 * 时  间：2013-11-7
 ************************************************************************/

#include "stdio.h"

/*----------------------------------------------------------------------------------
 * 功  能：   在大小为n的数组a中查找元素tag
 * 参  数：   a[] 要查找的数组,从小到大排列
                          n 数组大小
                          tag 待查找的元素
 * 返  回： 找到则返回所在下标，否则返回-1
 ------------------------------------------------------------------------------------*/
int BinarySearch(int a[],int n,int tag)
{
         int low = 0,high = n-1,mid = 0;

         while(low<=high)
         {
                 mid = (low+high)/2;

                 //正好是中间的元素
                 if(a[mid] == tag)
                          return mid;

                 //在上半段查找
                 if(a[mid]>tag)
                 {
                          high = mid-1;
                 }

                 //在下半段查找
                 else
                 {
                          low = mid+1;
                 }
         }

         return -1;
}

int main()
{
         //Test
         int a[10]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
         printf("%d\n",BinarySearch(a,10,4));
         printf("%d\n",BinarySearch(a,10,11));

         return 0;
}

 

棋盘覆盖

问题：  在一个2^k×2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

      

分析：   当k>0时，将2^k×2^k棋盘分割为4个2^k-1×2^k-1子棋盘(a)所示。

特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，可以把黄色的方格看做是较小棋盘的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。

递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。

 

代码：

 

/************************************************************************
 * 名  称：Chessboard.cpp
 * 功  能：分治算法案例：棋盘覆盖
 * 作  者：JarvisChu
 * 时  间：2013-11-7
 ************************************************************************/

#include <stdio.h>

/* L型骨牌的类型

------           ------|            |                         |
|                      |            |                         |
|                      |            |------             ------|

*/
#define L1 1
#define L2 2
#define L3 3
#define L4 4

#define N 16            //棋盘大小,边长

int board[N][N]; //棋盘

/*----------------------------------------------------------------------------------
 * 功  能: 对左上角为(tr,tc)，边长为size的棋盘进行棋盘覆盖
 * 参  数：(tr,tc)为棋盘的左上角坐标;(dr,dc)为特殊方格的位置;size为棋盘的大小,即边长
 * 返  回：无
 ------------------------------------------------------------------------------------*/
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
         //棋盘为1 x 1，不可再分割，直接返回
         if(size == 1) return ;

         //分割子棋盘
         int s = size/2;//子棋盘大小

         //判断特殊方格在哪个子棋盘内，以确定使用哪种L骨牌
         int type = 0;
         if(dr < tr+s && dc < tc+s)//特殊方格在左上角的子棋盘内
         {
                 type = L4; //使用第四种类型的L骨牌
         }
         else if(dr < tr + s && dc >= tc + s) //在右上角
         {
                 type = L3;
         }
         else if(dr >= tr + s && dc < tc + s) //在左下角
         {
                 type = L2;
         }
         else                                 //在右下角
         {
                 type = L1;
         }


         //覆盖左上角的子棋盘
         if(type == L4)           //特殊方格在该子棋盘内
         {
                 ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);//递归覆盖该子棋盘
         }
         else                    //特殊方格不在该子棋盘内
         {
                 board[tr+s-1][tc+s-1] = type;//使用type型骨牌覆盖其右下角的方格
                 ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
         }

         //覆盖右上角的子棋盘
         if(type == L3)        //特殊方格在该子棋盘内
         {
                 ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
         }
         else                 //特殊方格不在该子棋盘内
         {
                 board[tr+s-1][tc+s] = type;//使用type型骨牌覆盖其左下角的方格
                 ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
         }

         //覆盖左下角的子棋盘
         if(type == L2)      //特殊方格在该子棋盘内
         {
                 ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
         }
         else                //特殊方格不在该子棋盘内
         {
                 board[tr+s][tc+s-1] = type; //使用type型骨牌覆盖其右上角的方格
                 ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
         }

         //覆盖右下角的子棋盘
         if(type == L1)         //特殊方格在该子棋盘内
         {
                 ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
         }
         else                   //特殊方格不在该子棋盘内
         {
                 board[tr+s][tc+s] = type;//使用type型骨牌覆盖其左上角的方格
                  ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
         }
}


int main()
{
         //初始化棋盘
         for(int row=0;row<N;++row)
         {
                 for(int col=0;col<N;++col)
                          board[row][col] = 0;
         }

         //设定特殊方格位置
         int dr = 3,dc=4;

         //棋盘覆盖
         ChessBoard(0,0,dr,dc,N);


         //打印棋盘
         for(int row=0;row<N;++row)
         {
                 for(int col=0;col<N;++col)
                          printf("%3d",board[row][col]);
                 printf("\n");
         }

         return 0;
}

 

备注：博主用MFC实现了一个图形化的棋盘覆盖程序。如有兴趣可以留下邮箱索要源码。

可以设置棋盘的格数，特殊方格（红色）的位置，点击开始演示，则执行棋盘覆盖

 

 

 

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作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.NET/jarvischu