算法入门2：分治算法(上)

上一篇中讲解了算法的基本概念，算法许许多多，按照算法基本思想，大致可分为如下几类：分治算法、贪心算法、动态规划、回溯法、分支限界、概率算法和随机算法等等。这一篇讲解分治算法。

分治算法

分治即分而治之。一个问题规模过大不容易直接解决，就可以划分成许多小问题，如果小问题不容易求解，那么可以再划分成规模更小的问题，直到规模小到很容易解决为止，解决这些小问题，再将小问题的解合并成大问题的解。这就是分治算法的基本思想。

至于小问题的规模到底划分多大，这是没有规定的，依实际情况而定。小问题的规模可以是相等的，也可以是不相等的。可以分成简单的2个小问题，当然也可以分成多个小问题。

分治算法常用的实现方法是递归。因为分治就是将大问题不断划分成小问题，递归的解决小问题，再合并小问题的解就可以得到问题的解。

递归

递归，就是在函数内部调用本函数自身。形式如下

void foo()

{

//...

foo(); //递归

//...

}

下面举几个递归的典型例子。

阶乘

n! = n*(n-1)! 这就是一个递归

如果F(n)代表求解n!，那么F(n) = n * F(n-1)

[cpp] view plain copy

int f(int n)
{
if(n==1)
{
return 1;
}
return n*f(n-1);
}

Fibonacci数列

其定义为

[cpp] view plain copy

int f(int n)
{
if(n==0 || n==1)
return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}

汉诺塔问题

A,B,C三个塔座，将A上的N个盘子移动到C上，保证大的盘子不会放在小的盘子上。

[cpp] view plain copy

//直接将塔座from最上面的盘子移动到塔座to上
void move(char from,char to)
{
cout<<"Move:"<<from<<" -->"<<to<<endl;
}
//n个盘子，从A移动到C,借助B
void hanoi(int n,char A,char B,char C)
{
if(n>0)
{
hanoi(n-1,A,C,B); //首先将A中上面的n-1个盘子，从A移动到B,借助C
move(A,C); //然后将A中最下面的盘子直接移动到C
hanoi(n-1,B,A,C); //最后，将B上的n-1个盘子移动到C,借助A
}
}
int main()
{
hanoi(3,'A','B','C');
return 0;
}

PS: 博主用MFC实现了一个汉诺塔的动画效果。如有兴趣可留邮箱索要源码。（代码中还存在bug，但基本功能可用）可以单步运行移动，也可以自动执行移动。

全排列问题

输出N个数的全排列的结果。

比如当N=3，三个数为1，2，3时，全排列为：

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

N个数的全排列为Perm(N),也就是等于把N个数分别替换到第一位时的所有排列，即Perm(N) = 1_Perm(N-1) + 2_Perm(N-1)+…+N_Perm(N-1)

以上面的为例，Perm(N)就是1，2，3的全排列，1_Perm(N-1)就是 1，2，3 和 1，3，2

2_Perm(N-1)就是2，1，3和2，3，1。

同理可以对Perm(N-1)再递推到Perm(N-2)

下面是代码，有详细的注释

[cpp] view plain copy

/************************************************************************
* 名称：Perm.cpp
* 功能：分治算法案例：使用递归解决全排列问题(对n个数进行全排列)
* 作者：JarvisChu
* 时间：2013-11-1
************************************************************************/
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=5; //常量，数组（序列）大小
/*----------------------------------------------------------------------------------
* 功能：交换两个数
* 参数： a,b为要交换的元素
* 返回：无
------------------------------------------------------------------------------------*/
void swap(int& a,int& b)
{
int tmp = a;
a=b;
b=tmp;
}
/*----------------------------------------------------------------------------------
* 功能：输出数组arr中，从arr[start]到arr[end]的全排列
* 参数： arr：要全排列的数组
start: 要全排列数组段的起始位置下标，数组arr中 0到start-1位置已经排好
end: 要全排列的数组段的结束位置下标，arr[start]到arr[end]为待排数组段
* 返回：无
------------------------------------------------------------------------------------*/
void Perm(int* arr,int start,int end)
{
if(start == end) //起点和终点位置重合，只剩最后一个元素了，说明arr已经全部排好了，此时输出结果
{
for(int i=0;i<N;++i)
cout<<arr[i]<<" ";
cout<<endl;
}
else //有数据要排列
{
for(int j=start;j<=end;++j)
{
swap(arr[start],arr[j]);//将j位置的数，放到start位置
Perm(arr,start+1,end); //递归排序
swap(arr[start],arr[j]);//交换回来
}
}
}
int main()
{
int data[N];
for(int i=0;i<N;i++)
{
data[i] = i+1; //N个数，从1到N
}
Perm(data,0,N-1);
return 0;
}