算法入门6：回溯法

一. 回溯法 – 深度优先搜素                       

 

1. 简单概述

       回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于：

• 图的深度优先搜索
• 二叉树的后序遍历

      【

         分支限界法：广度优先搜索

         思想类同于：图的广度优先遍历

                         二叉树的层序遍历

      】

2. 详细描述

        详细的描述则为：

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

3. 回溯法应用

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）                               

        回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

//针对N叉树的递归回溯方法
void backtrack (int t)
{
     if (t>n)
          output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解
     else
          for i = 1 to k    //当前节点的所有子节点
         {
              x[t]=value(i);     //每个子节点的值赋值给x
              //满足约束条件和限界条件
              if (constraint(t)&&bound(t))
                   backtrack(t+1);     //递归下一层
          }
}

2. 递推

      算法设计相对复杂，但效率高。

//针对N叉树的迭代回溯方法
void iterativeBacktrack ()
{
    int t=1;
    while (t>0) {
        if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点
        {
            for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点
            {
                x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x
                if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件
                {
                    //solution表示在节点t处得到了一个解
                    if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出
                    else t++;//没有得到解，继续向下搜索
                }
            }
        }
        else //不存在子节点，返回上一层
        {
            t--;
        }
    }
}

三. 子集树和排列树                                                        

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

void backtrack (int t)
{
  if (t>n) output(x);
    else
      for (int i=0;i<=1;i++) {
        x[t]=i;
        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
      }
}

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

void backtrack (int t)
{
  if (t>n) output(x);
    else
      for (int i=t;i<=n;i++) {
        swap(x[t], x[i]);
        if (constraint(t)&&bound(t))   backtrack(t+1);
        swap(x[t], x[i]);
      }
}

四. 经典问题                                    

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

1. 0-1背包问题

        问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
        分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

 

代码：

#include <stdio.h>

#define N 3         //物品的数量
#define C 16        //背包的容量

int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量
int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值
int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值

int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

//t = 0 to N-1
void backtrack(int t)
{
    //叶子节点，输出结果
    if(t>N-1)
    {
        //如果找到了一个更优的解
        if(CurValue>BestValue)
        {
            //保存更优的值和解
            BestValue = CurValue;
            for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];
        }
    }
    else
    {
        //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
        for(int i=0;i<=1;++i)
        {
            x[t]=i;

            if(i==0) //不放入背包
            {
                backtrack(t+1);
            }
            else //放入背包
            {
                 //约束条件：放的下
                if((CurWeight+w[t])<=C)
                {
                    CurWeight += w[t];
                    CurValue += v[t];
                    backtrack(t+1);
                    CurWeight -= w[t];
                    CurValue -= v[t];
                }
            }
        }
        //PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁
    }
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    backtrack(0);

    printf("最优值：%d\n",BestValue);

    for(int i=0;i<N;i++)
    {
       printf("最优解：%-3d",BestX[i]);
    }
    return 0;
}

2. 旅行售货员问题

      回溯法----旅行售货员问题

3. 详细描述N皇后问题

       问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

       N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

      分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。

      使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。

      全局变量way表示总共的摆放方法数目。

      使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆   放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

       Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。

        代码：

/************************************************************************
 * 名  称：NQueen.cpp
 * 功  能：回溯算法实例：N皇后问题
 * 作  者：JarvisChu
 * 时  间：2013-11-13
 ************************************************************************/

#include <stdio.h>

#define N 8

int Board[N][N];    //棋盘 0表示空白 1表示有皇后
int way;      //摆放的方法数

//判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以
int Feasible(int row,int col)
{
    //位置不合法
    if(row>N || row<0 || col >N || col<0)
        return 0;

    //该位置已经有皇后了，不能
    if(Board[row][col] != 0)
    {   //在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率
        return 0;
    }

    //////////////////////////////////////////////////
    //下面判断是否和已有的冲突

    //行和列是否冲突
    for(int i=0;i<N;++i)
    {
        if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0)
            return 0;
    }

    //斜线方向冲突

    for(int i=1;i<N;++i)
    {
/*
i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度

左上角 \  / 右上角   i=2
          \/              i=1
          /\              i=1
左下角 /  \ 右下角   i=2
*/
        //左上角
        if((row-i)>=0 && (col-i)>=0)      //位置合法
        {
            if(Board[row-i][col-i] != 0)    //此处已有皇后，冲突
                return 0;
        }

        //左下角
        if((row+i)<N && (col-i)>=0)
        {
            if(Board[row+i][col-i] != 0)
                return 0;
        }

        //右上角
        if((row-i)>=0 && (col+i)<N)
        {
            if(Board[row-i][col+i] != 0)
                return 0;
        }

        //右下角
        if((row+i)<N && (col+i)<N)
        {
            if(Board[row+i][col+i] != 0)
                return 0;
        }
    }

    return 1;     //不会发生冲突，返回1
}

//摆放第t个皇后 ；从1开始
void Queen(int t)
{
    //摆放完成，输出结果
    if(t>N)
    {
        way++;
        /*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果
        for(int i=0;i<N;++i){
            for(int j=0;j<N;++j)
                printf("%-3d",Board[i][j]);
            printf("\n");
        }
        printf("\n------------------------\n\n");
        */
    }
    else
    {
        for(int i=0;i<N;++i)
        {
            for(int j=0;j<N;++j)
            {
                //（i,j）位置可以摆放皇后，不冲突
                if(Feasible(i,j))
                {
                    Board[i][j] = 1;     //摆放皇后t
                    Queen(t+1);         //递归摆放皇后t+1
                    Board[i][j] = 0;     //恢复
                }
            }
        }
    }
}

//返回num的阶乘,num!
int factorial(int num)
{
    if(num==0 || num==1)
        return 1;
    return num*factorial(num-1);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    //初始化
    for(int i=0;i<N;++i)
    {
        for(int j=0;j<N;++j)
        {
            Board[i][j]=0;
        }
    }

    way = 0;

    Queen(1);      //从第1个皇后开始摆放

    //如果每个皇后都不同
    printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way);     //N=8时, way=3709440 种

    //如果每个皇后都一样，那么需要除以 N！出去重复的答案（因为相同，则每个皇后可任意调换位置）
    printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way/factorial(N));    //N=8时, way=3709440/8! = 92种

    return 0;
}

PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。

4. 迷宫问题

        问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径

        分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。

        N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道（可走），值为1表示不可走（墙或者已走过）；

        Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)

       (ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标

       (EXIT_X, EXIT _Y)    是迷宫出口的坐标

       Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径

       BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径

 

       Maze()函数用来递归走迷宫，具体步骤为：

       1. 首先将当前点加入路径，并设置为已走
       2. 判断当前点是否为出口，是则输出路径，保存结果；跳转到4
       3. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走，如果可走则递归走该点
       4. 当前点推出路径，设置为可走

       代码：

/************************************************************************
 * 名  称：Maze.cpp
 * 功  能：回溯算法实例：迷宫问题
 * 作  者：JarvisChu
 * 时  间：2013-11-13
 ************************************************************************/
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

typedef struct
{
    int x;
    int y;
}Point;

#define N 10         //迷宫的大小
#define ENTER_X 0    //入口的位置（0，0）
#define ENTER_Y 0
#define EXIT_X N-1   //出口的位置(N-1,N-1)
#define EXIT_Y N-1

int Maze[N][N];    //定义一个迷宫，0表示通道，1表示不可走（墙或已走）
int paths;    //路径条数
vector<Point> Path;    //保存一条可通的路径
vector<Point> BestPath;    //保存最短的路径

bool First = true;    //标志，找到第一条路径

//初始化迷宫
void InitMaze()
{
 //简单起见，本题定义一个固定大小10*10的迷宫
 //定义一个迷宫，0表示通道，1表示墙(或不可走)
    int mz[10][10]={
    {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0
    {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1
    {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2
    {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3
    {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4
    {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5
    {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6
    {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7
    {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8
    {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9
    //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    };

    //复制到迷宫
    memcpy(Maze,mz,sizeof(mz));

    paths = 0;
}

//从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)
void MazeTrack(int x,int y)
{
    ///////////////////////////////////////
    //当前点加入到路径
    Point p={x,y};
    Path.push_back(p);
    Maze[x][y] = 1;         //设置为已走，不可走

    //cout<<"来到("<<x<<","<<y<<")"<<endl;

    ///////////////////////////////////////
    //如果该位置是出口，输出结果
    if(x == EXIT_X && y== EXIT_Y)
    {
        cout<<"找到一条道路"<<endl;
        paths++;

        //输出路径
        vector<Point>::iterator it;
        for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
        {
            cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") ";
        }
        cout<<endl;

        //判断是否更优
        if(First)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径
        {
            for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
            {
                BestPath.push_back(*it);
            }
            First = false;
        }
        else //不是第一条，则判断是否更短
        {
            //更短，复制到最优路径
            if(Path.size()<BestPath.size())
            {
                BestPath.clear();
                for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
                {
                    BestPath.push_back(*it);
                }
            }
        }
    }

    ///////////////////////////////////////
    //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走

    if((x-1)>=0 && Maze[x-1][y]==0)//上(x-1,y)；存在且可走
    {
        MazeTrack(x-1,y);
    }

    if((x+1)<N && Maze[x+1][y]==0)//下(x+1,y)；存在且可走
    {
        MazeTrack(x+1,y);
    }

    if((y-1)>=0 && Maze[x][y-1]==0)//左(x,y-1)；存在且可走
    {
        MazeTrack(x,y-1);
    }

    if((y+1)<N && Maze[x][y+1]==0)//右(x,y+1)；存在且可走
    {
        MazeTrack(x,y+1);
    }

    ///////////////////////////////////////
    //返回上一步
    Path.pop_back();
    Maze[x][y] = 0;         //设置为未走
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    //初始化迷宫
    InitMaze();

/*  //显示迷宫
    for(int i=0;i<N;++i){
        for(int j=0;j<N;++j)
            cout<<Maze[i][j]<<"  ";
        cout<<endl;
    }*/

    //回溯法走迷宫
    MazeTrack(ENTER_X,ENTER_Y);

    //显示最优的路径
    cout<<"可行路径总条数为"<<paths<<"；最优路径为"<<endl;
    vector<Point>::iterator it;
    for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it)
    {
        cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") ";
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}

PS：用WPF实现了一个简单的图形化迷宫程序。白色表示通道，红色表示墙，最短的路径用黄色显示。目前实现了一个10*10的迷宫自动搜素最短通路，右侧显示搜索过程中得到的每一个可行通路。
由于构造一个迷宫比较复杂，所以暂时“迷宫设置”功能没有做实现，至于手动一步步查看搜素过程的动画也没有做实现。

实现的大致思路如下：迷宫的数据使用二维数据mazeData表示。迷宫的显示使用Grid控件表示，每个方格处添加一个Rectangle控件，如果该方格mazeData值为0，则填充白色值为1，则填充红色，值为2则填充黄色。

XAML代码为：

 

<Window x:Class="MazeAnimation.MainWindow"
        xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation"
        xmlns:x="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml"
        Title="迷宫" Height="496" Width="673" Loaded="Window_Loaded">
    <Grid>
        <Grid.RowDefinitions>
            <RowDefinition Height="30"></RowDefinition>
            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>
            <RowDefinition Height="120"></RowDefinition>
        </Grid.RowDefinitions>

        <Grid.ColumnDefinitions>
            <ColumnDefinition Width="463"></ColumnDefinition>
            <ColumnDefinition Width="*"></ColumnDefinition>
        </Grid.ColumnDefinitions>

        <DockPanel Name="dpTips" Grid.Row="0" Grid.ColumnSpan="2" Background="AliceBlue" >
            <Label FontSize="16" Foreground="#FFAD1616" HorizontalAlignment="Center">迷宫的动态演示</Label>
        </DockPanel>

        <Grid Name="gdMaze" Grid.Row="1" Grid.Column="0" HorizontalAlignment="Stretch" VerticalAlignment="Stretch" >

        </Grid>

        <ScrollViewer Grid.Row="1" Grid.Column="1"  Margin="5" HorizontalAlignment="Stretch" HorizontalScrollBarVisibility="Auto">
            <TextBox Name="tbLog" Background="Beige"></TextBox>
        </ScrollViewer>

        <DockPanel Name="dpSetting" Grid.Row="2" Grid.Column="0"  VerticalAlignment="Stretch">

            <TabControl Name="tcMazeSetting"  Background="#FFE5D9D9" VerticalAlignment="Stretch" HorizontalAlignment="Stretch">
                <TabItem Header="迷宫设置" Name="tabItemMaze">
                    <Grid>
                        <Grid.RowDefinitions>
                            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>
                            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>
                            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>
                        </Grid.RowDefinitions>
                        <Grid.ColumnDefinitions>
                            <ColumnDefinition Width="60"></ColumnDefinition>
                            <ColumnDefinition Width="*"></ColumnDefinition>
                        </Grid.ColumnDefinitions>

                        <Label Content="大小："  Name="label1" Grid.Row="0" Grid.Column="0"/>
                        <Label Content="入口："  Name="label2" Grid.Row="1" Grid.Column="0"/>
                        <Label Content="出口："  Name="label3" Grid.Row="2" Grid.Column="0"/>

                        <StackPanel Grid.Row="0" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
                            <Label Content="高："></Label>
                            <TextBox Name="tbMazeHeight" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>
                            <Label Content="宽："></Label>
                            <TextBox Name="tbMazeWidth" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>
                        </StackPanel>

                        <StackPanel Grid.Row="1" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
                            <Label Content="X="></Label>
                            <TextBox Name="tbEnterX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>
                            <Label Content="Y="></Label>
                            <TextBox Name="tbEnterY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>
                        </StackPanel>

                        <StackPanel Grid.Row="2" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
                            <Label Content="X="></Label>
                            <TextBox Name="tbExitX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>
                            <Label Content="Y="></Label>
                            <TextBox Name="tbExitY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>
                        </StackPanel>
                    </Grid>

                </TabItem>
                <TabItem Header="演示设置" Name="tabItemDemo">
                    <StackPanel Orientation="Vertical" HorizontalAlignment="Stretch">
                        <CheckBox Name="cbAutoRun" Content="自动执行" Margin="10"></CheckBox>
                        <StackPanel Orientation="Horizontal">
                            <Label Content="执行速度:" Margin="10"></Label>
                            <TextBox Name="tbAutoRunSpeed" MinWidth="50" Margin="10"></TextBox>
                            <Label Content="毫秒" Margin="0,10,0,10"></Label>
                        </StackPanel>
                    </StackPanel>
                </TabItem>
            </TabControl>
        </DockPanel>

        <StackPanel Orientation="Horizontal" Grid.Row="2" Grid.Column="1" HorizontalAlignment="Center">
            <Button Name="btnStart" Content="自动开始" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnStart_Click"></Button>
            <Button Name="btnNext" Content="手动下一步" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnNext_Click"></Button>
        </StackPanel>
    </Grid>
</Window>

 

对应的MainWindow.xaml.cs代码为：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Data;
using System.Windows.Documents;
using System.Windows.Input;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Media.Imaging;
using System.Windows.Navigation;
using System.Windows.Shapes;

namespace MazeAnimation
{

    /// <summary>
    /// Interaction logic for MainWindow.xaml
    /// </summary>
    public partial class MainWindow : Window
    {
        public struct Point
        {
            public int x;
            public int y;
            public Point(int a, int b) { x = a; y = b; }
        };

        public bool bAutoRun = true;
        public int mazeHeight = 10;
        public int mazeWidth = 10;

        int[,] mazeData = new int[10, 10]
            {
                {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0
                {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1
                {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2
                {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3
                {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4
                {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5
                {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6
                {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7
                {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8
                {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9
            //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
            };

        public int enterX = 0;
        public int enterY = 0;
        public int exitX = 9;
        public int exitY = 9;
        public int runSpeed = 100;

        public int paths = 0; //总条数
        public Stack<Point> path = new Stack<Point>(); //一条找到的路径
        public Stack<Point> bestPath = new Stack<Point>();//最优路径
        public bool bFrist = true;

        public MainWindow()
        {
            InitializeComponent();
        }

        //显示迷宫，白色0表示通道，红色1表示不可走，黄色2表示最优的路径，绿色3表示已经走过的路径
        private void DisplayMaze()
        {
            gdMaze.Children.Clear();
            //设置可走和不可走
            for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)
            {
                for (int j = 0; j < mazeWidth; j++)
                {
                    Rectangle rect = new Rectangle();
                    rect.SetValue(Grid.RowProperty, i);
                    rect.SetValue(Grid.ColumnProperty, j);

                    if (mazeData[i, j] == 0)
                    {
                        rect.Fill = Brushes.White;
                    }
                    else if (mazeData[i, j] == 1)
                    {
                        rect.Fill = Brushes.Red;
                    }
                    else if (mazeData[i, j] == 2)
                    {
                        rect.Fill = Brushes.Yellow;
                    }
                    else if (mazeData[i, j] == 3)
                    {
                        rect.Fill = Brushes.Blue;
                    }
                    gdMaze.Children.Add(rect);
                }
            }
        }

        //初始化迷宫
        private void InitMaze()
        {

            gdMaze.Background = Brushes.LightGray;
            gdMaze.ShowGridLines = true;

            for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)
            {
                gdMaze.RowDefinitions.Add(new RowDefinition());
            }

            for (int i = 0; i < mazeWidth; i++)
            {
                gdMaze.ColumnDefinitions.Add(new ColumnDefinition());
            }

            DisplayMaze();
        }

        //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)
        private void MazeTrack(int x, int y)
        {
            ///////////////////////////////////////
            //当前点加入到路径
            Point p = new Point(x, y);
            path.Push(p);

            mazeData[x, y] = 3;         //设置为已走，不可走
            //DisplayMaze();
            //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠

            ///////////////////////////////////////
            //如果该位置是出口，输出结果
            if (x == exitX && y == exitY)
            {
                string msg = "找到一条道路(逆序)\n";
                tbLog.AppendText(msg);

                paths++;

                //输出路径
                foreach (Point pnt in path)
                {
                    msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";
                    tbLog.AppendText(msg);
                }
                tbLog.AppendText("\n\n");

                //判断是否更优
                if (bFrist)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径
                {
                    foreach (Point pnt in path)
                    {
                        bestPath.Push(pnt);
                    }

                    bFrist = false;
                }
                else //不是第一条，则判断是否更短
                {
                    //更短，复制到最优路径
                    if (path.Count < bestPath.Count)
                    {
                        bestPath.Clear();
                        foreach (Point pnt in path)
                        {
                            bestPath.Push(pnt);
                        }
                    }
                }
            }

            ///////////////////////////////////////
            //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走

            if ((x - 1) >= 0 && mazeData[x - 1, y] == 0)//上(x-1,y)；存在且可走
            {
                MazeTrack(x - 1, y);
            }

            if ((x + 1) < mazeHeight && mazeData[x + 1, y] == 0)//下(x+1,y)；存在且可走
            {
                MazeTrack(x + 1, y);
            }

            if ((y - 1) >= 0 && mazeData[x, y - 1] == 0)//左(x,y-1)；存在且可走
            {
                MazeTrack(x, y - 1);
            }

            if ((y + 1) < mazeWidth && mazeData[x, y + 1] == 0)//右(x,y+1)；存在且可走
            {
                MazeTrack(x, y + 1);
            }

            ///////////////////////////////////////
            //返回上一步
            path.Pop();
            mazeData[x, y] = 0;         //设置为未走

            //DisplayMaze();
            //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠
        }

        private void Window_Loaded(object sender, RoutedEventArgs e)
        {
            //初始化变量
            tbMazeHeight.Text = mazeHeight.ToString();
            tbMazeWidth.Text = mazeWidth.ToString();
            tbEnterX.Text = enterX.ToString();
            tbEnterY.Text = enterY.ToString();
            tbExitX.Text = exitX.ToString();
            tbExitY.Text = exitY.ToString();

            cbAutoRun.IsChecked = bAutoRun;
            tbAutoRunSpeed.Text = runSpeed.ToString();

            //初始化迷宫
            InitMaze();
        }

        //点击开始
        private void btnStart_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
        {
            string msg = "开始走迷宫\n";
            tbLog.AppendText(msg);
            MazeTrack(enterX, enterY);

            //显示最优的路径
            msg = "\n可行路径总条数为" + paths + "\n最优路径为\n";
            tbLog.AppendText(msg);

            foreach (Point pnt in bestPath)
            {
                msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";
                tbLog.AppendText(msg);

                mazeData[pnt.x, pnt.y] = 2;
            }
            DisplayMaze();
        }

        //下一步
        private void btnNext_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
        {
            string msg = "手动开始走迷宫 暂未实现\n";
            tbLog.AppendText(msg);
        }
    }
}

参考文献： 《计算机算法设计与分析》（王晓东）

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作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.NET/jarvischu