学习笔记-树状数组

蒟蒻的数据结构学习笔记

01 Introduction

它是什么？ 树状数组是一种支持单点修改和区间查询的数据结构。

它长什么样？它用普通数组实现，数组长度与原数组相同。

它的效率如何? 它的修改时间复杂度是 $O(\log n)$，区间查询时间复杂度也为 $O(\log n)$。

后文记树状数组为$c$，原数组为$a$。

02 Structure

先来认识一个新朋友： lowbit() 函数。

lowbit(x) 表示 x 在二进制表示下，最右边的$1$所占的二进制权值。

例如：$44=(00101100)_2$ ，最右边的0在从右往左数第三位，因此lowbit(x)$=(00000100)_2$即$4$。

如何实现？

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

具体什么原理我也不知道。但把这板子背下来应该不难吧

而树状数组的存储方式，正是基于这个函数。

树状数组的每个 $c_i$ ，正是表示从 $a_{i-lowbit(i)+1}$ 到 $a_i$ 的区间和。 这段区间的长度正好为 lowbit(x)。

换言之，

$c_i=\sum_{j=i-lowbit(i)+1}^ia_j$.

03 Template

它的初始化就很简单了：

void BinaryIndexedTree::init() // 初始化，复杂度O(n^2)
{
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        for (int j = i - lowbit(i) + 1; j <= i; j++) // 每个c[i]都代表长度为lowbit[i]，结束于i的子段之和
        {
            c[i] += a[j];
        }
    }
}

那么，如何实现单点修改呢？

实际上也很简单：

void BinaryIndexedTree::add(int index, int x) // 支持单点修改，复杂度O(log n)
{
    for (int i = index; i <= len; i += lowbit(i))
    {
        c[i] += x;
    }
}

index 代表要更改的原数组下标。

每次加上一个lowbit[i]可以理解为向前进一位，这一位一定包含 a[index]

(目前我没法理解如何证明这个，请dalao指导)

区间查询，如果只查一次就只能查到从1开始的。

int BinaryIndexedTree::getSum(int index) // 求1~index区间和，复杂度O(log n)
{
    if (!index)
    {
        return 0;
    }
    int ret = 0, lbit = lowbit(index);
    ret = c[index] + getSum(index - lbit); // 问题转化为求index-lbit+1~index的区间和即c[i]，再求前面1~index-lbit区间和
    return ret;
}

可以看到这是一个递归，我们实际上每次都把问题转化为求$index-lbit+1 --index$的区间和即$c_i$，再求前面$1--index-lbit$区间和。

如果要查询一个不从1开始的区间，就查两次：

int BinaryIndexedTree::sum(int start, int end) // 求start~end区间和，复杂度O(log n)
{
    int ret = getSum(end) - getSum(start - 1);
    return ret;
}

Congratulations!

恭喜你！现在，你已经完成了整个树状数组的板子。

如果你理解了它的基本存储原理和查询方式，那么我们来看点拓展。

04 Expansion

有的时候，我们需要利用树状数组同时实现区间修改和单点查询。

那怎么办呢？

曾经我们求区间和使用的算法是什么？差分！

实际上，我们可以使用树状数组套一个差分数组，即可实现区间修改，查询两次复杂度仍然为 $O(\log n)$。

初始化和普通差分数组相同：

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    int tmp;
    scanf("%d", &tmp);
    add(i, tmp);
    add(i + 1, -tmp);
}

区间修改也比较简单：

int l, r, tmp;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &tmp);
add(l, tmp);
add(r+1, tmp);

这样做的坏处在于，由于使用了差分数组，树状数组的区间查询功能就变成了单点查询功能。

也就是说，要不区间查询，要不区间修改，二选一。

如何实现单点查询？根据差分数组的性质，求差分数组的前缀和即可，也就是树状数组的区间查询功能。

int k;
scanf("%d". &k);
printf("%d\n", getSum(k));

上面就是树状数组的全部核心内容。

理解差分思想很重要！

放几道例题：

树状数组

树状数组+差分

NKOJ