学习笔记 - 树上差分（边差分）

前言

我是傻逼。

普通的差分很简单，记录相邻两个元素的差值。

当需要还原修改后的数组时，我们只需要把每个数之间的差值挨个累加。

也就是跑一遍前缀和。

即前缀和是差分的逆运算。

边差分

当我们需要为树上的一条路径上的点或边统一加权值时，就会用到树上差分。

其原理和普通差分一样。

修改

在边差分中，一条边的差分值是它和它下方所有边权之和的差。

![]()

如图：

$diff[1,3] = val[1, 3] - val[3, 4]$

考虑一个简单的问题：如果我们将根节点 $1$ 至节点 $u$ 的一条路径上的边统一加权，怎么办？

我们只需要把 $u$ 连到它父亲的边加上这个权值就好了。

那么从一个节点 $u$ 到它的祖先 $v$ 这一段加权呢？

照样把 $u$ 连到它父亲的边加上这个权值，但是 $v$ 连到它父亲的边要减掉这个权值，因为它并没有加权。

将这个问题扩展到任意节点 $u, v$ 之间。

记 $LCA(u, v) = r, fa(r) = f$ 。

可以将这个路径拆成两段，一段是 $(u, r)$，另一段是 $(v, r)$。

两段分别操作就行了。注意 $(f, r)$ 这条边的的差分要减两倍。

参考代码

void add(int u, int v, int val)
{
    int r = lca(u, v);
    diff[id[make_pair(fa[u][0], u)]] += val;
    diff[id[make_pair(fa[v][0], v)]] += val;
    diff[id[make_pair(fa[r][0], r)]] -= val * 2;
} 

还原

显然，要还原一条边的值，必须要把它下面所有边的值都求出来。

叶子节点连的边的值就是它的差分数组值本身。

直接递归处理即可。

参考代码

void dfs(int u, int v)
{
    sum[id[make_pair(u, v)]] = diff[id[make_pair(u, v)]];
    for (auto &i : e[v])
    {
        if (i != u)
        {
            dfs(v, i);
            sum[id[make_pair(u, v)]] += sum[id[make_pair(v, i)]];
        }
    }
}