向量入门

向量的定义

只有大小而没有方向的量称作 标量 。

既有大小又有方向的量称作 向量(Vector) 。

别和 std::vector<> 搞混了，此 vector 非彼 vector。

向量的表示

二维向量可在平面直角坐标系上表示，此时它的长度称为 模长 。

由于向量没有位置，我们可以直接将它的起点平移到原点，用终点此时的坐标表示它。

struct vec
{
    int x, y;
};

向量的运算

• 加法

  x 坐标相加， y 坐标相加。

  几何意义：

  $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的和 $\overrightarrow{AP}$ 是以 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 为相邻两边的平行四边形的对角线。

• 减法

  x 坐标相减， y 坐标相减。

  几何意义：

  $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的差是 $\overrightarrow{CB}$ 。

• 乘法/除法

  等比例放缩即可。

• 点积

  向量 $A, B$ 的点积 $A \cdot B = |A||B| \cos \theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角。

  易得它的几何意义是 $A$ 在 $B$ 上的投影长度乘以 $B$ 的模长。

  在编程中有更简单的实现方式。

  x 坐标相乘， y 坐标相乘。

  求两个向量的夹角可以直接算点积，再调用库函数 acos 给把角度算出来。

• 叉积

  向量 $A, B$ 的叉积 $A \times B = |A||B| \sin \theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角。

  几何意义： $A, B$ 形成的平行四边形面积，如果 $B$ 在 $A$ 顺时针方向该值为正，否则取负。

  编程中的实现方式：

  cross(A, B) = A.x * B.y - A.y * B.x

  推柿子太麻烦了，就先咕了。

向量在计算几何中的应用

• 判点与直线的位置关系

  在直线上取两点，分别与这个点构成向量，算叉积，看正负，如果为负这个点就在直线左侧，否则在右侧，

• 计算点到直线的距离

  一样的，线上取两点与这一点构成向量，算叉积，取绝对值得到平行四边形面积，除以底边长即线上两点的距离得到高即距离。

  推广到线段，只需要算算这个点的投影是否在线段上就行了，如果不行就取到两短点距离的更小值。

• 咕咕咕