区间dp总结

前言

上个坑还没填（悲

区间 dp

区间 dp 是指这样一类动态规划：算法在一个线性序列上进行，且可以通过小区间转移到大区间。

正因如此，一般的区间 dp 数组至少是两维： dp[N][N] ，其中前面一位表示区间左端点，后面一维为区间右端点。

因为要枚举区间，它的时间复杂度至少是 $O(n^2)$ ，事实上大多数时候对单个区间进行转移是要枚举断点的，时间复杂度将来到恐怖的 $O(n^3)$ 。

判断一个题是不是区间 dp ，从问题是否在一个序列上和数据范围是不是很小就可以了。

以上都是废话。当年讲 dp 基础的时候也讲过一些简单的区间 dp ，今天的博客实质上是对最近做的一些新颖的区间 dp 题目做一些归纳，并探讨我们能从这些题中学到什么。

例题

NKOJ P10533

题意：给你一个只含加号、减号、乘号的表达式，你可以按照任意顺序计算这个表达式，求最后所有结果的和。 $1 \leq n \leq 500$ 。

容易想到区间 dp 。设 dp[i][j] 表示这段区间能计算得到的所有值之和。

对于每个区间 $i, j$ ，我们枚举断点 $l \leq k < r$ 。

假设左边能够得到的所有结果是

$$ {res_1, res_2, \dots, res_{cnt_1}} $$

右边是

$$ {res2_1, res2_2, \dots, res2_{cnt_2}} $$

易得一个区间能够计算得到的结果有它的长度减一的阶乘个。

我们需要把两边的结果两两配对，而我们现在只知道左边的和和右边的和。

分情况讨论：

• 乘号：直接左边乘上右边，展开后发现两两配对了。

• 加号： 因为每个左边的数要与右边 $cnt_2$ 个数都配对一次，所以每个数都要乘上右边的长度。 右边同理。左边的和乘上右边的个数，加上右边的和乘以左边的个数。

• 减号：加号同理，左边的和乘上右边的个数，减去右边的和乘以左边的个数。

好的，但是写完后发现样例都过不去。

手推样例会发现有些重复的数只被算了一次。当然我没那个能耐手推，我打的表。

这是为什么呢？

其实我们在左右合并计算结果时忽略了一个问题：左右计算的相对顺序。

我们知道左边内部计算的固定顺序（因为要得到某个固定结果），也知道右边的。

但是左右的计算可以交替进行啊！

所以我们需要枚举左右计算的相对顺序。

形式化地，确定一个长度为两区间运算符之和的序列 $s$ , $s_i \in \left \{ 0, 1 \right \} $ 的个数，其中 0 有左边的运算符个数个，1 有右边的运算符个数个。0 表示左边的，1 表示右边的。不需要管左边与右边内部的计算顺序，因为这是我们已经计算过了的。

我们考虑把这么多个 0 和 1 随机打乱构成全排列，则有 $(r - l - 1)!$ 个。

但是我们要把 1 和 0 内部构成的全排列除去。于是最终要乘上的常数就是：

$$ \frac{(r - l - 1)!}{cnt_{1}!cnt_{0}!} $$

用逆元计算即可。

总结：在设计方程时应当考虑区间合并后的影响，例如排列可能会被打乱。