图论学习笔记

圆方树

这里的圆方树指广义圆方树。

对于一张 $n$ 个点的无向图，其中包含 $k$ 个点双，那么这张图建出的圆方树一共有 $n + k$ 个点，其中前 $n$ 个点为原图中的点，称为圆点，后 $k$ 个点每个点代表一个点双，称为方点，每个点双与其中包含的点连边构成一个菊花，这 $k$ 个菊花经由图中的割点连在一起。

圆方树的一些性质：

任取树上的一条链，其中圆点与方点交替出现。
两个圆点 $u, v$ 在原图中简单路径的并等价于圆方树上 $u, v$ 间的路径，且该路径上的圆点为 $u, v$ 间路径的必经点。
顺带一提，除了两个点由一条边相连的情况，一个点双一定是一个边双。

在圆方树中，我们经常通过给每个点赋上恰当点权的方式解决问题。

例题：

铁人两项

枚举起点和终点，那么问题变为求这两点间简单路径点集的并，这等价于求圆方树上两点间间路径代表的点的并。

建立圆方树，给圆点赋 $- 1$ 的权，方点赋其代表的点双大小的权，那么点对 $u, v$ 的答案就是圆方树上 $u, v$ 路径的权值和。

Proof：首先我们记录了路径上所有点双大小的和，但这样会算重，因为两个点双间由同一个割点相连，给圆点赋值为 $- 1$ 恰好消掉了多算的一次。

然后换一种统计方式，树形 dp 求经过点 $x$ 的路径条数在乘上这个点的权即可，注意图可能不连通。

Tourists

~~这题 *3200~~

要求所有简单路径上的最小值，那么我们可以建立圆方树，圆点的权值为它自己，方点的权值为与它相连的圆点的权值的最小值，树剖加线段树维护即可。

但是这样做一个圆点的修改会影响到若干个方点，所以我们将方点的权值改为它所有子节点的权值的最小值，这样修改时只需要改父亲即可。

注意这样做如果两点间 LCA 为方点的话还要算上它的父亲。

为了方便的修改权值，我们可以对每个点开一个 multiset，得以快速维护。

战略游戏

首先答案为点集中任取两点组成的点对间路径上圆点的并集大小，这个由圆方树的性质可以直接得到，所以设圆点的权值为 $1$ ，方点的权值为 $0$ ，求树上两点间权值和即可，但不应考虑两个端点。

但是这样做复杂度过高，考虑优化，类似于蓝书上异象石一题，将答案转化为包含集合中所有点的最小联通块，最终再减去集合的大小即可。

因此我们将这些点按照在树上的时间戳排序，然后依次统计相邻两点间的路径权值和，这里我们认为第一个点与最后一个点也相邻，这样一个点会算上两次，最后除 $2$ 即可，但是这样不能统计第一个点与最后一个点的 LCA，最后要判一下。

Edge Queries

题目中的性质没有用，将题目中的简单路径转化为圆方树上两点间的路径，然后圆点权值为 $0$ ，方点的权值为它代表的点双内部的边数，因为一个点双中删一条边并不影响连通性。但要特判只有一条边的情况，此时不能删边。

如何统计点双中边的数量呢？我们可以对一个点双中的点先打上标记，然后枚举以这个点双中的点为起点的边，如果其终点也在这个点双中，那么经过这个点双的边数加一。但因为是无向图，所以最后的边数要除二。

网络流

网络流的常用手法：拆点，总贡献减去最小割，集合划分模型，最大权闭合子图。

最大权闭合子图

若 $w_{x} > 0$ 连边 $S \to x$ ，权值为 $w_{x}$ ；若 $w_{x} < 0$ ，连边 $x \to T$ ，权值为 $- w_{x}$ 。对于原图中的边 $(u, v)$ ，连边 $u \to v$ ，权值为 $+ \infty$ 。

答案是 $\sum max (w_{i}, 0) -$ 最小割。

上下界网络流

上下界网络流的基本想法是：先把所有的边流量都达到下界，然后再用减去下界得到的普通网络去调整使得每个点满足流量守恒。

1.无源汇可行流

先使每条边的权值达到下界，然后考虑求出一个 $w_{i} = \sum_{(u, i) \in E} f (u, i) - \sum_{(i, v) \in E} f (i, v)$ ，请注意原网络中反向边的权值也要计算。若 $w_{i} < 0$ 说明流入的太少了， $w_{i} > 0$ 则说明流出的太少了。

根据斜对称， $\sum w_{i} = 0$ 。那么设 $δ = \sum_{w_{i} > 0} w_{i}$ 。

然后讲上下界同时减去下界的值得到残量网络。在这个网络上，新建一套源汇点 $(S S, T T)$ 。若 $w_{i} > 0$ ，则连边 $T T \to i$ ；若 $w_{i} < 0$ ，则连边 $S S \to i$ ，两者的权值均为 $| w_{i} |$ 。对于原网络的边则无需操作。

然后对这个图跑最大流，如果新加的这些边全部流满才有解，否则无解。比如 $S S \to i$ 流了 $w_{i}$ ，那就相当于是 $i$ 向 $S S$ 流了 $- w_{i}$ ，那就把多出来的一部分流量平了。 $T T$ 也是同理。这里不太好理解，就是说中间点从来不储存流量，所以 $S S$ 向它流了多少都和它没有关系；只有源汇才没有流量限制，因此我们多的向它流，少的向它要即可。

如果全部流满了，那么每条边的原始下界加上最新流量是一组合法的解。那虚空的 $S S$ 和 $T T$ 收到的流量啥的怎么算呢？这不需要算，因为中间的点都没保存它们，只是由 $S S$ 完整的流到了 $T T$ 。

2.有源汇可行流

有源汇与无源汇的区别就是，给定的源点 $S$ 和汇点 $T$ 不需要满足流量守恒。因此，我们选择由 $T \to S$ 连一条权值为 $+ \infty$ 的边然后按照无源汇可行流的方式求解。这样子， $T$ 向 $S$ 的流量是 $x$ 的话，就意味着

虚树

应用虚树的条件：做出贡献的点只有给出的关键点和它们的 LCA，其余的点可以视作相同处理。

虚树对树的压缩保留了给出点的相对结构，但是对边权还要做出分析。

构造：使用单调栈维护虚树上的一条链，它的 $d f n$ 从栈底到栈顶单调递增，也可以理解为深度单调递增。

按照 $d f n$ 从小到大加入点。求出当前点 $x$ 与栈顶的 LCA，记为 $p$ 。

若 $p$ 为栈顶，那么直接插入 $x$ 即可。
若 $p$ 不为栈顶，那么这两条路径肯定不完全重合，不断弹出栈顶直到栈顶下面的节点的 $d f n$ 小于等于 $p$ ，假设这个点为 $x^{'}$ ：
- 若 $d f n_{x^{'}} = d f n_{p}$ ，这意味着 $x^{'} = p$ ，此时只需要将栈顶弹出并连边。
- 若 $d f n_{x^{'}} < d f n_{p}$ ，那么我们要先将栈顶弹出再插入 $p$ ，此时 $p$ 为第一次插入， $p$ 要和栈顶连边。形象的说，就是 $p$ 插在了原来的栈顶和 $x^{'}$ 之间。