摘要：
"[HNOI2009]有趣的数列" 有一个长度为2n的1~2n的全排列，保证其奇数项递增，偶数项递增，并且相邻的奇数项和偶数项，后面的偶数项大于奇数项的方案数$mod\ p,n include define il inline define ri register define ll long lo 阅读全文
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"[CQOI2011]放棋子" 在$m\times n$的棋盘中放入一些棋子，棋子由c种颜色组成，第i种颜色的棋子数有$d_i$个，要求每一行每一列只能有同种颜色的棋子或没有棋子，询问其方案数$mod\ 10^9+7$,N,M include include define il inline def 阅读全文
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"Sightseeing Cows" 给出一张图，点数为L，边数P，并给出边的边权$\{b_i\}$,再给处每个点的点权，求一条起点和终点相同的路径，并使其点权之和除以边权之和最大，注意，路径中点权只能被计算一次，而边权可以重复计算， (2 ≤ L ≤ 1000)， (2 ≤ P ≤ 5000)。 阅读全文
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"Desert King" 有一张点数为L边数为p的图，给出点权与边权$\{b_i\}$，定义边权$\{a_i\}$为连接边的两点的点权之差的绝对值，现在选出一棵生成树，使边上的a之和除以b最小，(2 ≤ L ≤ 1000)，(2 ≤ P ≤ 5000) 。 解 显然建出图来就是求最优比率生成树的问 阅读全文
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"Dropping tests" 有n对数，记做$\{a_i,b_i\}$,现在你只能不选择k对数，使选出来的数a之和除以b之和乘以100最大，$1 \leq k ≤ n ≤ 1000$。 解 显然看到某某和除以某某和，就想到了分数规划，于是设 $$ans=\frac{\sum_{i=1}^nx_i 阅读全文
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[TOC] 基础知识 邻接矩阵与链式前向星 邻接矩阵:适用于要快速修改以及点密集的图 链式前向星：适用于需要快速查询与之相连点，且点稀疏的图。 最小生成树 prim加点法 正确性 prim将最小生成树分为两个部分，因为关键在于点，一个部分为已知的最小生成树构造，另外一个部分为未知的生成树，而加上两个 阅读全文
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"简单的数学题" 求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\ mod\ p,n\leq 10^{10},5×10^8≤p≤1.1×10^9$且p为质数。 解 $$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\ 阅读全文
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"[HAOI2016]放棋子" 有一$N\times N$的棋盘，有N个障碍物放入其中，已经给出其位置，并且保证每一行每一列有且仅有一个障碍物，现在再给你N个棋子，放入其中，保证每一行每一列有且仅有一颗棋子，询问其方案数。 解 根据错排自由定理，我们完全可以把障碍物按照行递增的方式的排序起来，即把障 阅读全文
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"[SDOI2017]数字表格" $f$为fbi数，即$f[0]=0,f[1]=1,f[i]=f[i 1]+f[i 2]$，现在给出T组询问，询问$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf(gcd(i,j)),T≤1000,1≤n,m≤10^6$。 解 通常我们所做的约数计数问题都是与 阅读全文
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"诸侯放置" 给你一个长n网格图，还给你k个棋子，放入格子中，询问保证任意一行一列不存在2个及以上的棋子的方案数$mod\ 504$，如图所示为一长3的网格图和2个棋子的方案，n≤l00，k≤2n2 2n+1。 解 显然是错排问题，关键在于构造出高度递增，而根据错排自由定理，错拍问题中，行列交换互不 阅读全文
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"LJJ爱数数" 求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\epsilon(gcd(i,j,k))(\frac{1}{i}+\frac{1}{j}==\frac{1}{k}),n\leq 10^{12}$ 解 显然无法用Mobius反演，问题在于$\frac{1} 阅读全文
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"车的放置" 有如下网格，a，b，c，d代表网格数 现在有k辆车放入这个棋盘，要求每一行每一列不超过一辆车，询问其方案数mod 100003,a，b，c，d，k≤1000。 解 法一：通项公式 注意到从左边开始划分问题，会存在分类讨论的麻烦，于是考虑从右边开始分类讨论，显然我们需要枚举有多少辆车方法 阅读全文
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"[SDOI2014]数表" 在一张$n\times m$数表中，第i行第j列的数字为即能整除i又能整除j的自然数之和，Q组询问，询问这张数表中不大于a的数之和，1 include include define il inline define ri register define ll long 阅读全文
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"Counting swaps" 给你一个1～n的排列，问用最少的交换次数使之变为递增排列的方案数$mod\ 10^9+7$,1 ≤ n ≤ 10^5。 解 显然最少的交换次数不定，还得需要找到最小交换次数，而考虑到交换为复杂的过程，考虑状态的性质，所以不难想到画出,+为箭头指向方向 于是你会发现实 阅读全文
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"[JXOI2018]游戏" 有n个元素，标号l~r(r l+1=n),进行全排列，从左至右标记，同时对于数i被标记还会去标记其他的标号为其倍数的元素，记最小的标号，标记完所有的元素为权值，问所有排列方案权值之和为多少$mod\ 10^9+7$，$1≤l≤r≤10^7$。 解 显然标记方法模拟极其复 阅读全文
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"[CQOI2015]选数" 从[L,H]中可重复地选出N个数，问其gcd等于K的方案$mod\ 10^9+7$，1 include define il inline define ri register define ll long long define control 6000000 defi 阅读全文
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"交错序列" 长度为n的01序列的的一种方案中，保证1不能相邻，记0出现x次，1出现y次，定义其特征值为$x^ay^b$,参数a，b已事先给定，求所有方案的特征值$mod$ m,m为给定质数，1≤n≤10000000 0≤a,b≤45 m include include define il inli 阅读全文
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"Crash的数字表格" 求$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j),n,m\leq 10^7$ 解 设$N include define il inline define ri register define ll long long define yyb 2010100 阅读全文
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"[SDOI2015]约数个数和" 给出T组询问，询问$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(ij)$,1 include define il inline define ri register define ll long long define swap(x,y) x^=y^=x^ 阅读全文
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[TOC] 前言 此处为在下平时代数的公式与证明方法的积累之处，便于需要之时快速查询，以及方便各位高人。 正文 1.$\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 证明： 法一：构造等差数列 注意到$n^3 (n 1)^3=n^2+( 阅读全文