Round Numbers

Round Numbers

寻找区间\([l,r]\)中的round数的个数，定义round数为二进制位下0比1多的数的个数，\(1 ≤ l < r ≤ 2,000,000,000\)

解

明显的数位递推题，接下来所有的套路都是在二进制下的讨论，只要会求\(0\sim n\)的符合条件的数，两式相减，即答案。

因为既要表现位数又要表现0和1的多少关系，不妨设\(dp[i][j]\)为i位数的0的个数减去1的个数为j的方案数(含前导0)，同时设\(db[i][j]\)为i位数以内的0的个数减去1的个数为j的方案数（不含前导0），有
(转移策略过多,此处采取顺转移的方式)

\[dp[i+1][j+1]+=dp[i][j],dp[i+1][j-1]+=dp[i][j] \]

\[db[i+1][j]+=db[i][j],db[i][j-1]+=dp[i][j] \]

边界：\(dp[0][0]=db[i][j]=1\)

接下来照着数位递推的套路，刚开始处理首位的时候，一个数都没填调用db数组，即\(ans+=\sum_{j\geq 0}dp[n][j]\)(设最高位为n)，当前面的数已经确定了，我们要保存前面的数0的个数-1的个数记做k，那么ans即累加\(\sum_{j\geq -k-1}dp[i][j]\)(假设当前处理第i位)，注意一个细节，就是这样数位递推对于边界这个数是考虑不到的，要特判，不妨边界++。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
int num[32];
const int zero(31);
ll dp[32][zero*2+1],db[32][zero*2+1];
il ll ask(int);
il void prepare();
int main(){
	int a,b;prepare();
	scanf("%d%d",&a,&b);
	printf("%lld",ask(b)-ask(a-1));
	return 0;
}
il ll ask(int n){
	ll ans(0);++n,num[0]=0;
	do num[++num[0]]=n&1,n>>=1;while(n);
	if(num[0]==1)return 1;
	for(int i(num[0]),j,k,l(0);i;--i){
		for(j=0;j<num[i];++j){
			if(i==num[0])continue;
			for(k=zero-l-1;k<63;++k)
				ans+=dp[i-1][k];
		}if(j)--l;else ++l;
	}
	for(int i(zero);i<63;++i)
		ans+=db[num[0]-1][i];
	return ans;
}
il void prepare(){
	dp[0][zero]=db[0][zero]=1;
	for(int i(0),j;i<31;++i)
		for(j=0;j<63;++j){
			if(dp[i][j]){
				dp[i+1][j+1]+=dp[i][j];
				dp[i+1][j-1]+=dp[i][j];
				db[i+1][j-1]+=dp[i][j];
			}if(db[i][j])db[i+1][j]+=db[i][j];
		}
}