最短Hamilton路径

最短Hamilton路径

给出一个有n个点的有向图，编号1～n，边权已经给出，询问最短hamilton路径，其定义为不重不漏地经过所有点以1为起点以n为终点的路径，\(n\leq 20\)。

解

注意到数据范围很小，支持二进制压缩，为了压缩方便，将每个点的标号减1,然而递推方程里必然要表现终点，而要保证不重不漏，于是还要记录有哪些点已经被经过了，于是设\(f[i][j]\)表示当前状态为i，以j为终点的路径，其中i的二进制第k位为1表示已经经过该点，反之，于是不难有(定义\(w[i][j]\)为点i到点j的边权)

\[f[i][j]=\min_{k=0,j!=k\&\&i>>k\&1}^{n-1}\{f[i\wedge 1<<j][k]+w[k][j]\}(i>>j\&1) \]

边界：\(f[1][0]=0\),其余负无限大

答案：\(f[(1<<n)-1][n-1]\)

时间复杂度:\(O(2^n\times n)\)

因为很难看出明显的阶段性，于是在考场尽量选择bfs（拓扑排序），dfs（记忆化搜索）实现，但是注意到求\(f[i][j]\)其对应的决策点的第一维是在缩小的，于是可以以之为阶段进行枚举。

参考代码：

dfs

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
bool is[1048576][21];
int a[21][21],dp[1048576][21],n;
il int dfs(int,int);
template<class free>
il free Min(free,free);
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i(0),j;i<n;++i)
		for(j=0;j<n;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[1][0]=0,is[1][0]|=true;
	printf("%d",dfs((1<<n)-1,n-1));
	return 0;
}
template<class free>
il free Min(free a,free b){
	return a<b?a:b;
}
il int dfs(int a,int b){
	if(is[a][b])return dp[a][b];is[a][b]|=true;
	for(int c(0);c<n;++c)
		if(a>>c&1)dp[a][b]=Min(dp[a][b],dfs(a^(1<<b),c)+::a[c][b]);
	return dp[a][b];
}

阶段实现（即循环）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
int a[21][21],dp[1048576][21];
template<class free>
il free Min(free,free);
int main(){
	int n,li;scanf("%d",&n),li=1<<n;
	for(int i(0),j;i<n;++i)
		for(j=0;j<n;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp)),dp[1][0]=0;
	for(int i(0),j,k;i<=li;++i)
		for(j=0;j<n;++j)
			if(i>>j&1)
				for(k=0;k<n;++k){
					if(k==j)continue;
					if(i>>k&1)
						dp[i][j]=Min(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]+a[k][j]);
				}printf("%d",dp[li-1][n-1]);
	return 0;
}
template<class free>
il free Min(free a,free b){
	return a<b?a:b;
}