初等数论

目录

• 同余
  • 同余的基本运算
    • 交换
    • 加减
    • 乘
    • 次方
  • 余数的定义
    • 证明式
    • 计算式
  • 同余类
  • 剩余系
    • 完全剩余系
    • 简化剩余系
  • 欧拉定理
    • 欧拉定理
    • 费马小定理
    • 欧拉定理的推论
      • 欧拉定理的推论
      • 扩展欧拉定理的推论
  • 思维导图

同余

同余的基本运算

交换

\[a\equiv b(mod\ m)\Longleftrightarrow b\equiv a(mod\ m) \]

加减

\[a_1\equiv b_1(mod\ m),a_2\equiv b_2(mod\ m)\Longleftrightarrow a_1+a_2\equiv b_1+b_2(mod\ m) \]

特别地\(a\equiv b(mod\ m)\Longleftrightarrow a+c\equiv b+c(mod\ m)\)

乘

\[a_1\equiv b_1(mod\ m),a_2\equiv b_2(mod\ m)\Longleftrightarrow a_1a_2\equiv b_1b_2(mod\ m) \]

\[ac\equiv bc(mod\ mc)\Longleftrightarrow a\equiv b(mod\ m)\Longleftrightarrow ac\equiv bc(mod\ m) \]

次方

\[a\equiv b(mod\ m)\Longleftrightarrow a^c\equiv b^c(mod\ m) \]

余数的定义

证明式

\(a\equiv b(mod\ c)\Longleftrightarrow b=kc+a\)

计算式

\(amod\ b=a-[a/b]\times b\)

同余类

当且仅当\(a\in[0,m)\)，集合\(\{a+km\}\)成为同余类，记做\(\bar{a}\)，同余类所有数\(mod\ m\)相等。

剩余系

完全剩余系

\[\{\bar{0},\bar{1},...,\bar{m-1}\} \]

简化剩余系

\[\{\bar{c_1},\bar{c_2},...,\bar{c_{\varphi(m)}}\} \]

其中所有元素在\(mod\ m\)意义下与m互质

性质：剩余系中元素的乘法封闭

证明：

设a，b为剩余系中的元素，设\(ab\equiv r(mod\ m)\)，有\(ab=km+r\)

反证法，假设不封闭，那么r必然与m有公约数，设\(d=gcd(r,m)\),右式看作一个整体存在约数d，而左式与m互质，不存在约数d，两数相等，矛盾，故得证。

欧拉定理

欧拉定理

a，m互质，有\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m)\)

证明：

对于m的简化剩余系\(\{\bar{c_1},\bar{c_2},...,\bar{c_{\varphi(m)}}\}\)

同乘一个a，有

\(\{a\bar{c_1},a\bar{c_2},...,a\bar{c_{\varphi(m)}}\}\)

对于其中任意两个剩余系\(mod\ m\)意义下\(i,j\)，假设\(ai\equiv aj(mod\ m)\Rightarrow\),

\(a(i-j)\equiv 0(mod\ m)\Rightarrow m|a(i-j)\xrightarrow{gcd(a,m)==1}m|(i-j)\Rightarrow i-j\equiv 0(mod\ m)\)

即\(i\equiv j(mod\ m)\)，故矛盾，不成立，于是第二个剩余系中元素互不相同，但是根据简化剩余系的性质，容易知道两个剩余系在\(mod\ m\)意义下相等，于是有

\[c_1c_2...c_{\varphi(m)}\equiv c_1c_2...c_{\varphi(m)}a^{\varphi(m)}(mod\ \varphi(m)) \]

于是有\(a^{\varphi(m)}=1(mod\ m)\)

费马小定理

当\(m\in prime\),易知\(a^{m-1}\equiv 1(mod\ m)\),或者\(a^m\equiv a(mod\ m)\)

欧拉定理的推论

欧拉定理的推论

注意到欧拉定理类似循环节，当a，m互质时,故有\(a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)}(mod\ m)\)

扩展欧拉定理的推论

当a，m不互质时有

\[a^c\equiv \begin{cases}a^c(c<\varphi(m))\\a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(c\geq \varphi(m))\end{cases}(mod\ m) \]

证明：

对于m中的一个质因数p而言，显然有\(m=p^k\times s\)，于是有\(s|m,p|m,gcd(p,s)==1\)

所以有\(p^{\varphi(s)}\equiv 1(mod\ s),\varphi(s)|\varphi(m)\)，所以有

\(p^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ s)\Rightarrow p^{\varphi(m)+r}\equiv p^r(mod\ s\times p^r=m)\)

r必然小于\(\varphi(m)\)

---

证明：

对于任意一个质数而言，其r=1，m最小都为2,于是成立

对于\(\varphi(m)=m\times \frac{p-1}{p}\times ....\)，假设对于m成立

如果增加一个质因子p，++r，而m扩大p倍，显然p至少都为2,于是\(\varphi(m)\)增长速度远大于r

如果增加质因子不是p，m扩大，r不变，还是成立

于是由数学归纳法容易知道，r必然小于\(\varphi(m)\)

---

因此对于\(c\geq r\)，有\(p^{\varphi(m)+r}\times p^{c-r}\equiv p^r\times p^{c-r}(mod\ m)\)

有\(p^{\varphi(m)+c}\equiv p^{c}(mod\ m)\),于是对于任意一个c而言，只要\(c\geq r\)就存在循环节\(\varphi(m)\)，

于是有\(p^c\equiv p^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)，因此有

于是对于a的一个质因数p，也是m的质因子而言，有\(p^c\equiv p^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)

对于与m互质的a的质因子p而言有$p^c\equiv p^{{c mod \varphi(m)}(mod m)\xrightarrow{p}\equiv 1(mod\ m)} $$p^c\equiv p^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)$

将所有a对应的质因子的这些式子乘起来，我们有\(a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)，于是得证。

思维导图

同余（同余的性质，完全剩余系）\(\Rightarrow\)约数\(\Rightarrow\)质因子

\(\Downarrow \xrightarrow{\text{互质}}\text{欧拉定理}\begin{cases}\text{欧拉定理}\\\text{费马小定理}\\\text{欧拉定理的推论及其扩展}\end{cases}\)

余数的定义\(\begin{cases}\text{证明式}\\\text{计算式}\end{cases}\)，同余递推