守卫者的挑战

守卫者的挑战

您初始有一个容量为k的包，现在有n项挑战依次进行，第i项挑战成功的概率为\(p_i\%\),每次挑战成功会得到一个\(a_i\),\(a_i=-1\)表示得到一个地图碎片，否则表示得到一个容量为\(a_i\)的包，胜利的条件是至少成功l次，且得到的背包恰好能容纳所有的地图碎片（一个地图碎片占据容量1），问胜利的概率，\(0<=k<=2000,0<=n<=200,-1<=ai<=1000,0<=L<=N,0<=pi<=100\)。

解

不难想到要表现这是那一场挑战，除此之外，为了判断胜利，自然也要表现地图碎片个数与背包容量，但这两个没必要分开来表示，统一表示为剩余背包容量（当然可以为负数，所以需要把0定义为一个比较大的数，防止越界），而还有一个胜利判断是胜利次数，于是我们自然想到设\(f[i][j][k]\)表示到了第i场挑战，剩余背包容量为j，挑战成功l次的概率，注意到实际上背包容量很大，但是地图碎片很少，意味着，我们需要的背包容量，不会超过n，于是我们可以考虑压范围，而压范围，自然顺转移比较舒服，于是有

第i+1场失败：\(f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]\)

第i+1场成功：\(f[i+1][j+a_{a+1}][k+1]+=f[i][j][k]\)

边界：\(f[0][zero][0]=1,zero\)为您自行定义的0点

答案：\(\sum f[n][i][j]\)，i枚举大于0的部分，j枚举大于l的部分

因为我们压了范围，于是当转移的变量超过范围，以范围最大量代替转移的变量。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
int a[201];
double p[201],dp[201][201][401];
int main(){
    int n,l,k;
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&k);
    for(int i(1);i<=n;p[i]/=100,++i)scanf("%lf",&p[i]);
    for(int i(1);i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    dp[0][0][200+k]=1;
    for(int i(0),j;i<n;++i)
        for(j=0;j<=l&&j<=i;++j)
            for(k=0;k<=400;++k){
                dp[i+1][j][k]+=dp[i][j][k]*(1-p[i+1]);
                int j_(j+1),k_(k+a[i+1]);
                if(j_>l)j_=l;if(k_>400)k_=400;
                if(k_<0)k_=0;dp[i+1][j_][k_]+=dp[i][j][k]*p[i+1];
            }double ans(0);
    for(k=200;k<=400;++k)ans+=dp[n][l][k];
    printf("%.6lf",ans);
    return 0;
}